發散思維揭秘高考試題

發散思維是指在思維過程中信息向各種可能的方向擴散，不局限于既定的模式，從不同的角度尋找解決問題的各種途徑．具體地說，就是依據定理、公式和已知條件，產生多種想法，廣開思路，提出新的設想，發現和解決新的問題．發散思維富于聯想，思路寬闊，善于分解、組合、引申、推廣，靈活采用各種變通方法等，在學習中運用發散思維，可以找到解決問題的多種方式方法，運用發散思維來處理高考數學試題，可以得到簡潔、優美、令人耳目一新、嘆為觀止的解答.下面通過2011年全國數學卷第21題加以分析.

題目：（2011年全國II理科21題）已知O為坐標原點，F為橢圓C:x2+■=1在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為－■的直線l與C交與A、B兩點，點P滿足■+■+■=■.

(I)證明：點P在C上；

（II）設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在一個圓上.

（I）分析：要想證明點P在曲線C上，只需求出點P的坐標，驗證點P的坐標滿足曲線C的方程，從而給出證明.

證明：(I)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，由橢圓C：x2+■=1知焦點F的坐標為(0，1)，故直線l的方程為y=－■x+1，代入橢圓方程x2+■=1消去y化簡得：4x2－2■x－1=0，∴ x1+x2=■ ， y1+y2=－■( x1+x2)+2=1.由■+■+■=■，可得■=－(■+■)，可得：x3=－(x1+x2)=－■， y3=－(y1+y2)=－[－■( x1+x2)+2]=－1，而(－■)2+■＝１，故點P在橢圓x2+■＝１上.

(II)

【發散思維分析1】要證明四點共圓，只需找到它們所共圓的圓心及半徑即可，根據圓的性質可知，若四點共圓，則圓心為線段AB與線段PQ的垂直平分線交點，可得：

證法一：（如圖2）由(I)可知，AB中點坐標為M(■，■)，故線段AB垂直平分線方程為：y－■= ■(x－■)，即y= ■x+■.

點P關于點O的對稱點為Q，則Q坐標為(■，1)，直線PQ的斜率為■=■，所以線段PQ的垂直平分線方程為y=－■ x，而y= ■x+■與y=－■ x相交，交點坐標為Ｎ（－■，■），ＮＰ＝■＝■，ＡＢ＝■·x2-x1=■，AM=■，MN=■＝■，ＮＡ＝■＝■，所以ＮＰ＝ＮＡ，ＮＰ＝ＮＱ，ＮＡ＝ＮＢ，故A、P、B、Q四點共圓.

【點評】證四點共圓，可以求出圓心與半徑，圓心的尋找利用弦的垂直平分線過圓心這點來尋找.

【發散思維分析2】由于可以求出四個點的坐標，故可以先由其中三點確定一個圓，然后驗證第四個點在它們確定的圓上，故得：

證法二：由證法一可得由A， B， P三確定的圓的方程為(x+■)2+(y－■)2=■ .將點Q的坐標(■，1)代入方程(x+■)2+(y－■)2= ■可知滿足此方程，故A、P、B、Q四點共圓.

【點評】先由某些點確定一個圓，然后在證明其它點在這個圓上，也能證明多點共圓.

【發散思維分析3】根據證法二可以換個角度思考，若求出A、P、B與A、B、Q所確定的圓的方程相同，則這四點共圓，也就是我們常說的同一法.

證法三：（同一法）這里不再證明.

【點評】不同點確定的圓相同，也起到證明多點共圓的效果.

【發散思維分析4】題目中所給的條件是用向量給出的，這樣很容易想到向量的夾角與四點共圓的判定方法：若四邊形的一個外角等于與它不相鄰的內角，則這四點共圓，所以可以從求圖形中的角入手得到：

證法四：（如圖3）由(I)可求得A(■，■)，B(■，■)，P(－■，－1)，∴ ■=(■，■)，■=(■，■)，■=(■，■)，■=(■，■)，cos〈■，■〉=■=－■， cos〈■，■〉=■ =

－■.而點P關于點O的對稱點為Q，■+■+■=■，■+■=■可得∠AQB=∠AOB，∠APB為四邊形APBQ的外角，根據四邊形一外角等于與它不相鄰的內角，則四點共圓可得：A、P、B、Q四點共圓.

【點評】向量在求角中威力相當大，此方法正是利用了向量來求兩直線所形成的角.

【發散思維分析5】同樣從角出發，可以利用兩直線的夾角公式來計算.

證法五：

tan∠APB=■=■=■=■，同理tan∠AQB=■=■=

■=-■，所以∠APB，∠AQB互補，因此A、P、B、Q四點在同一圓上.

【點評】直線到直線的角公式不常用，但在求兩直線形成的角中也不麻煩.

【發散思維分析6】根據相交弦定理的逆定理，線段AB與CD相交于O，若滿足|AO||OB|=|CO||OD|，則A、B、C、D共圓的思想，可得：

證法六：由題意可知線段AB與線段PQ相交于AB中點M，由證法一可得|AM|=■，|MB|=■，|PM|=■，|MQ|=■，∴ |AM||MB|=|PM|

|MQ|.因此A、P、B、Q四點在同一圓上.

【點評】利用兩點間距離公式及直線與二次曲線相交的弦長是解析幾何中求線段長的常用方法.

【發散思維分析7】同樣由分析6的思想，結合直線的參數方程中參數的幾何意義，很容易求出|AM||MB|與|PM||MQ|的值，這需要寫出直線AB與直線PQ的參數方程.

證法七：設直線AB的傾斜角為?琢，直線PQ的斜率為?茁，線段AB的中點為M(x0，y0)，則

直線AB的方程為x=x0+t cos ?琢，y=y0+t sin ?琢（t為參數），直線PQ的方程為x=x0+p cos ?茁，y=y0+p sin ?茁（p為參數），代入橢圓方程，整理得：

（2cos2?琢+sin2?琢）t2+(4x0cos?琢+2y0sin?琢)t+2x02+y0－2=0，（2cos2?琢+sin2?琢）p2+(4x0cos?琢+2y0sin?琢)p+2x02+y0－2=0，

由（I）可得P(－■，－1)，Q(－■，1)， 直線PQ的斜率為■=■，而直線AB的斜率為－■，∴ ?琢+ ?茁= ?仔，∴ cos2 ?琢=cos2 ?茁，sin2a=sin2?茁，∴ t1 t2 =p1 p2，即|MA||MB|=|MP||MQ|，所以A、P、B、Q四點共圓.

【點評】直線的參數方程要理解其參數的幾何意義，這對利用參數方程解決問題其關鍵作用.

從上面的證明我們可以看出，利用發散思維，從求出四點所在的圓的圓心與半徑、四邊形外角等于不相鄰內角、圓冪定理等不同方向來證明四點共圓，而每一種方法中，我們又從不同的知識點如四邊形外角等于不相鄰內角這個問題中，我們從向量夾角及直線到直線的角兩種方式給出了證明，運用圓冪定理中我們又用了直線的參數方程及直接求線段的長兩種方式，所以對所遇到的數學問題，從不同的角度出發，利用發散思維，條條道路通羅馬，先思考有哪些道路，如何走每條道路，這樣對一題多解及尋找題目的簡單解法會很有幫助.

跟蹤練習：

練習一：如圖4：過不在橢圓上的任一點M作直線l1、l2，分別交橢圓于A、B和C、D四點，若l1、l2的傾斜角為?琢、?茁，且?琢+ ?茁= ?仔，則A、B、C、D四點共圓.（證明可參考證法七）

練習二：設A、B是橢圓3x2+y2=?姿上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點.

（Ⅰ）確定?姿的取值范圍，并求直線AB的方程；

（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的?姿，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由.

參考答案（I）利用點N（1，3）在橢圓內，可求得?姿的取值范圍是（１２，＋∞）.利用點差法可得直線AB的斜率為－1，從而得AB的方程為x+y-4=0.

(II)可參考文中證法一.

（作者單位：山東省聊城第三中學）

責任編校徐國堅

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