向量視角下的線性規(guī)劃

重視在“知識的交匯處命題”是高考數學命題的原則，知識的交匯處體現了知識的內在聯系，是高考考查考生數學綜合能力的命題點.線性規(guī)劃問題在近幾年高考持續(xù)走熱，與之相關的交匯問題層出不窮，與向量的交匯就是其中重要的一種類型.

【題目】（2011年廣東高考題文6、理5）在平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組0≤x≤■y≤2，x≤■y給定.若M(x，y)為D上的動點，點A的坐標為(■，1)，則z=■·■的最大值為（）

A. 3B. 4 C. 3■D. 4■

由題得不等式組給定的區(qū)域D是如圖1所示的直角梯形OABC，根據數量積的不同表達形式，可以得到如下兩種思路：

【知識鏈接1】已知向量■=(x1，y1)，■(x2，y2)，則■·■=x1x2+y1y2，即兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和.

【分析與解答1】由■=(x，y)，■=(■，1)，由上述坐標運算公式得■·■=■+y.問題轉化為在線性約束條件0≤x≤■，y≤2，x≤■y下，求目標函數z=■+y的最大值.將z=■+y化為l∶y=-■+z的形式，即求直線l在y軸上的截距z的最大值.如圖1-1 所示，當直線l經過圖中的點B（■，2）時，直線l在y軸上的截距z最大，所以z=■+y的最大值是■·■+2=4.

【收獲與反思1】若M(x，y)為平面區(qū)域D上的動點，點A的坐標為(a，b)，由向量的數量積的坐標公式，得■·■=ax+by，求■·■的最值即轉化為求目標函數z=ax+by的最值.

【知識鏈接2】已知兩個非零向量■與■，我們把數量■■cos ?茲叫做■與■的數量積（或內積），記作■·■，即■·■=■■cos ?茲，其中?茲是■與■的夾角，■cos ?茲（■cos ?茲）叫做向量■在■方向上（■在■方向上）的投影.

【分析與解答2】平面向量與線性規(guī)劃都具有代數形式和幾何形式的雙重身份，融形、數于一體，是聯接代數和幾何問題的重要橋梁.而傳統的線性規(guī)劃問題從本質上說是用線性約束條件的幾何意義解決線性目標函數問題，從幾何的角度出發(fā)，上述問題可用向量的觀點分析如下：z=■·■=■·■cos∠AOM，而■=■，所以z=■·■=■■cos∠AOM，則z=■·■的最值依賴于■cos∠AOM的變化，而■cos∠AOM表示向量■在向量■的方向上的投影.由圖1-2所示知當點M在點B（■，2）處時，向量■在向量■的方向上的投影最大（圖1-2中向量■），所以zmax■·■(■，2)·(■，1)=4.

【收獲與反思2】在線性規(guī)劃中，對于形如z=ax+by型的目標函數，可以把z=ax+by看作平面內的向量■=(x，y)與向量■=(a，b)的數量積，則z=ax+by=■·■=■·■cos?茲，因為■為定值■，因此由數量積的幾何意義可知：z的最值依賴于向量■在向量■方向上的投影的最值，由投影的最佳點即得最優(yōu)點.

向量中的投影也是實現目標函數幾何化的重要載體，為我們解決線性規(guī)劃問題筑起一個嶄新的方法平臺，目標函數的幾何意義直觀、形象，解題過程操作性強.舉個例子.

【題目】（2011年安徽高考題文6）設變量x，y滿足x+y≤1，x-y≤1，x≥0，則x+2y的最大值和最小值分別為（B）

A.1，－1B.2，－2C.1，－2D.2，－1

【簡解】作出可行域如圖 2 所示，設M（x，y）為可行域內任一點，N（1，2），則z = x + 2y =■·■，由數量積的幾何意義可知當M（x，y）在點A（0，1）處時，zmax=(0，1)·(1，2)=2；當M（x，y）在點B（0，－1）處時，zmax=(0，-1)·(1，2)=-2.

【反饋訓練】

1.（2011年福建高考題理8）已知O是坐標原點，點A（－1，1），若點M（x，y）為平面區(qū)域x+y≥2，x≤1，y≤2上的一個動點，則■·■的取值范圍是（ C ）

A. [－1，0] B. [0，1]

C. [0，2]D. [－1，2]

2. （2011年浙江模擬題）已知點P的坐標（x，y）滿足：x-4y+3≤0，3x+5y≤25，x-1≥0及A（2，1），則■的最大值是

6 .

提示：■=■cos∠AOP，即為■在■上的投影長.由x-4y+3=0，3x+5y=25，得M（5，2），∴最大值為■=6.

3. 設O為坐標原點，點A的坐標為（2，1），點B（x，y）滿足x2+y2-2x-2y+1≥0，0≤x≤1，0≤y≤1，則z=■·■的最大值為（ Ｃ ）

A. 1B. ■

C. 2 D. ■

提示：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖是曲邊三角形ODE，其中D（1，0），E（0，1），根據數量積的幾何意義，只要■在■上的投影最大時，z=■·■取得最大值.故當B運動到D時，投影最大，于是zmax=(1，0)·(2，1)=2，選C.

平面向量作為一個基本工具，在數學解題中有著極其重要的地位與作用，而將它的思想延伸到解決線性規(guī)劃問題，可謂匠心獨運.這不僅僅是知識層面上的交匯，更重要的是思想上、方法上的交匯，不僅有效實現了數學知識和方法的整合，同時對于同學們創(chuàng)新意識的培養(yǎng)大有裨益.

(作者單位：珠海市斗門區(qū)第一中學 )

責任編校徐國堅

“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”