2011年高考廣東理科數學解析幾何題的變式探究

2011年廣東高考理科數學第19題是一道考查數形結合的好題目，我們先來看看該題的解析，然后由此題進行拓展、變式，以使得同學們獲得舉一反三的效果.

【題目】設圓C與兩圓（x+■）2+y2=4，（x-■）2+y2=4中的一個內切，另一個外切.

（1）求圓C的圓心軌跡L的方程;

（2）已知點M（■，■），Ｆ（■，０），且Ｐ為Ｌ上的動點，求｜｜MP｜–｜FP｜｜的最大值及此時點P的坐標.

【思路分析】（1）本小題主要考查兩圓位置關系及雙曲線定義的應用.相當部分同學都懂得兩圓外切、內切時需滿足的條件，即會列出兩種情況的關系式：CF1=r+2，CF2=r-2或CF1=r-2，CF2=r+2，但后續部分可能陷入一種死板的做題模式，即通過CF1-CF2=4或CF2-CF1=4兩種情況將C（x，y）分別代入列式化簡，這樣會大大增加了運算量，也大大增加了出錯率，可謂吃力不討好.

其實，通過CF1-CF2=4或CF2-CF1=4合二為一，得到｜｜CF1｜–｜CF2｜｜=4<2■=F1F2，顯然軌跡L為以兩已知圓心F1、F2為焦點的雙曲線，再由2c=2■，2a=4求得a、b、c，這樣所求軌跡方程■-y2=1就出來了，自然流暢，表述簡潔，在高考作答中贏得了時間也贏得了分數.

（2）對于這一個小題，當然我們可以借助雙曲線的參數方程設P（2sec?漬，tan?漬）代入求最值，但此種方法對于很多同學來說還是有一定的難度，在這里主要跟大家探討一下如何利用數形結合的方法解決平面內曲線上的動點到兩定點距離之差（或和）的最值問題.

此題中易判斷點M、F處于雙曲線右支的兩側，要在雙曲線上找一點P令得｜｜MP｜–｜FP｜｜取最大值，通過畫圖，顯然P與M、F不共線時，由“三角形任意兩邊之差小于第三邊”得｜｜MP｜–｜FP｜｜

此小題主要考查了方程思想，數形結合思想和分類討論思想，題目出得相當好，考查了同學們的思維能力而運算不繁瑣，下面我們再重點對于其中的數形結合思想進行變式研究.

【變式1】已知點P在拋物線C:y2=4x上，那么點P到點Q（2，-1）的距離與點P到拋物線焦點F距離之和PQ+PF取得最小值時，點P的坐標為（）

A． （■，-1） B． （■，1） C． （1，2） D． （1，-2）

【分析】怎樣才能使得處于一點的兩條直線變直呢，我們可以考慮利用曲線的定義達到此目的.因為點F、Q都是拋物線同一側的點，故要在拋物線上找一點P，使得PQ+PF最小，需要先將這兩個同側點化為異側點，利用拋物線定義則可以實現這一轉化.轉化如下：注意到PF等于點P到拋物線l準線的距離，由點P向準線l作垂線，垂足為B，于是得到：PQ+PF=PQ+PB，容易知道當且僅當P，B，Q三點共線時，其和最小，即聯結BQ與拋物線C的交點為所求. 令y=-1，得x=■，故點P為（■，-1），選Ａ.

【感悟】本變式利用拋物線的定義，實現“化同側點為異側點”將折線和化為直線段，使問題獲解，充分利用了轉化思想和數形結合思想.

【變式2】已知A（1，1）為橢圓■+■=1內一點，F1為橢圓左焦點，P為橢圓上一動點.則｜PF1｜+｜PA｜的最大值為_______；最小值為______．

【分析】本題很容易這樣考慮，設點P（x，y），然后由

｜PF1｜+｜PA｜=■+■，再結合■+■=1來求｜PF1｜+｜PA｜的最值，陷入無法求解的困境．我們可以利用橢圓定義及數形結合思想求解．

由■+■=1可知a=3，b=■，c=2，左焦點F1(-2，0)，右焦點F2(2，0).由橢圓定義，｜PF1｜=2a-｜PF2｜=2a-｜PF2｜=6-｜PF2｜，∴｜PF1｜+｜PA｜=6-｜PF2｜+｜PA｜=6+｜PA｜-｜PF2｜.

如圖：

由｜｜PA｜-｜PF2｜｜≤｜AF2｜=■=■知-■≤｜PA｜-｜PF2｜≤■.

當P在AF2延長線上的P2處時，取右“=”號；

當P在AF2的反向延長線的P1處時，取左“=”號.

即｜PA｜-｜PF2｜的最大、最小值分別為■，-■.

于是｜PF1｜+｜PA｜的最大值是6+■，最小值是6-■.

【感悟】本題解法避免了代數法運算的繁瑣甚至很難求解的情況出現，仍然是利用轉化思想和數形結合思想.題目的情景由變式1中的拋物線轉到橢圓中來.

【變式3】已知F是雙曲線■-■=1的左焦點，A（1，4），P是雙曲線右支上的一動點，則｜PF｜+｜PA｜的最小值為.

【分析】設雙曲線的右焦點為F′，因為點A，F都是雙曲線右支同側的點，故要在雙曲線右支上找到一點P，使得｜PF｜+｜PA｜最小，仍需要先把這兩個同側點化為異側點，利用雙曲線定義可以實現這一轉化，注意到P點在雙曲線的兩只之間，且雙曲線右焦點為 F′（4，0），于是由雙曲線性質|PF|－|PF′|＝2a＝4，而|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5，兩式相加得｜PF｜+｜PA｜≥9，當且僅當A，P，F′三點共線時等號成立.故｜PF｜+｜PA｜的最小值為9.

【感悟】本題與變式1、2相比，題目情景變為雙曲線，仍然是利用轉化思想和數形結合思想，并且要用到式子的變形相加，比變式1、2 難度又稍為大一點.

【變式4】已知向量■=cosθ，sinθ)，向量■=(■，-1)，則 |2■-■| 的最大值、最小值分別是()

A. 4■，0B. 4，2■C. 16，0D. 4，0

【分析】如圖，點A(cosθ，sinθ)在圓x2+y2=1上運動時，延OA到C，使■=2■=2■，求■-■的最值，顯然■=■=2.當■與■反向時有最大值4，■與■同向時有最小值0. ∴選D.

【感悟】本題與前面3道變式題相比較，難度更大一些，因為涉及了向量，并且要善于利用轉化思想領會出點A(cosθ，sinθ)在圓x2+y2=1上運動，再利用數形結合思想解題.解題思想很簡單，就是初中學過的定理：“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”.

上面通過對一道高考題目的解析，我們知道，在復習時候，不在乎題目的多，而要善于對題目進行變形，探究，從而達到擺脫題海戰術，提高思維能力的目的.

（作者單位：孔志寧:廣東四會中學；王位高:廣東信宜礪儒中學）

責任編校 徐國堅

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