一類二階非線性差分方程的局部漸近穩(wěn)定性
2011-12-31 00:00:00胡林霞
大觀周刊 2011年48期
中圖分類號：O175.7 文獻標識碼：A文章編號：1008-925X(2011)12-0161-01
1 引言
差分方程作為微分方程的離散化形式， 和微分方程之間有著不可分割的重要聯(lián)系， 可以用以近似地逼近連續(xù)系統(tǒng)的解， 但是兩種系統(tǒng)（連續(xù)系統(tǒng)和與之相應的離散系統(tǒng)）的解的漸近行為卻并不是經(jīng)常一致的， 這就使得人們更加關(guān)注差分方程自身本質(zhì)的一些問題。
本文主要討論了二階非線性時滯差分方程
xn+1=a+bxn21+xn-1n∈N0 (1.1)
的所有平衡點的局部漸近穩(wěn)定性，其中參數(shù)a，b∈（0，+∞），初始條件x-1，x0∈（0，+∞），N0={0，1，2，……}，給出了方程(1.1)的平衡點局部漸近穩(wěn)定的一個充分條件。
為了方便的描述非線性時滯差分方程的全局行為， 首先陳述一些基本概念和一些已知結(jié)論。
考慮二階差分方程
xn+1=f(xn，xn-1)，n∈￥0 ，（1.2）
其中f:I×I是連續(xù)可微的函數(shù)，n∈￥0，K≥1為自然數(shù)，函數(shù)f(u，v，w) 關(guān)于每一個變量都有連續(xù)的偏導數(shù)。
點x-稱為差分方程 (1.2) 的一個平衡點，如果
x-=f(x-，x-)，
換句話說，當n≥-1時，xn=x-是差分方程(1.2)的解。
定義1.1 設x-是方程(1.2)的一個平衡點。則
(1)方程(1.2)的平衡點x-是局部穩(wěn)定的，如果對任意的ε＞0，存在δ＞0，使得對所有滿足|x-1-x-|+|x0-x-|＜δ的x-1，x0∈I，當n≥-1時，有|xn-x-|＜ε。
(2)方程(1.2)的平衡點x-是局部漸近穩(wěn)定的，如果它是局部穩(wěn)定的，并且存在γ＞0，使得對所有的滿足|x-1-x-|+|x0-x-|＜γ的x-1，x0∈I，有limn→∞xn=x-。
令p=fxn（x-，x-），q=fxn-1（x-，x-），r=fxn-2（x-，x-）則方程(1.2)的關(guān)于x-的線性化方程為
xn+1=pxn+qxn-1，n=0，1，2，…
其特征方程為
λ2-pλ-q=0(1.3)
引理1.2[1]若方程(1.3)中參數(shù)p，q，r滿足
i)|p|＜1-q，則方程(1.2)的平衡點x-是局部漸近穩(wěn)定的;
ii)p2+4q＞0，|p|＞|1-q|，則方程(1.2)的平衡點x-是鞍點；
iii)|p|=|1-q|，則方程(1.2)的平衡點x-是非雙曲的。
2 主要結(jié)果
方程(1.1)有平衡點x-滿足
x-=a-b x-21+x-
方程(1.1)有唯一的正平衡點x-=-1+1+4a(1+b)2(1+b).
定理2.1 i)若a≤34(1+b)2，或a≥(1+b)2則方程(1.1)無非負的素二周期解;
ii)若34(1+b)2
φ=a-bψ1+φ，ψ=a-bφ1+ψ
證明：不妨假設
L，φ，ψ，φ，ψ，L
是方程(1.1)的一個素二周期解，則φ和ψ滿足系統(tǒng)
φ=a-bψ1+φ，ψ=a-bφ1+ψ (1.3)
因此(φ-ψ)(φ+ψ-1-b)=0.從而φ+ψ=1+b.進一步地，利用(1.3)可得，φψ=(1+b)2-a，即φ，ψ為下面二次方程
t2-(1+b)t+(1+b)2-a=0(1.4)
的根。
當a≤34(1+b)2時，其判別式△=4a-3（1+b）2≤0;當a≥（1+b）2 時，可得φ=ψ，這與φ≠ψ矛盾。
ii)由i)的證明可知，當34(1+b)2 φ=1+b+4a-3（1+b）， ψ=1+b-4a-3（1+b）. 證畢。 定理2.2 i)若0 ii)若b>1+2x—2x-，則方程(1.1)的唯一正平衡點是不穩(wěn)定的，確切地說，是鞍點; iii)b=1+2x—2x-，則方程(1.1)的唯一正平衡點是非雙曲的。 證明：令f(xn，xn-1)=a-bxn21+xn-1，則 xnf(xn，xn-1)=2bxn1+xn-1， xn-1f(xn，xn-1)=-a-bxn2(1+xn-1)2 從而方程(1.1)關(guān)于正平衡點x-的特征方程為 λ2+2b x-1+x-λ+x-1+x-=0 。 i)當0 |-2b x-1+x-|=2b x-1+x-<1+2 x-1+x-=1+x-1+x-， 由引理1.1可知，方程(1.1)的唯一正平衡點是局部漸近穩(wěn)定的。 ii)當b>1+2x—2x-時， |-2b x-1+x-|=2b x-1+x->1+x-1+x-，從而由引理1.1可知， 此時方程(1.1)的唯一正平衡點是鞍點，是不穩(wěn)定的。 iii)當b=1+2x—2x-時， |-2b x-1+x-|=2b x-1+x-=1+x-1+x-，從而由引理1.1 iii)可知，此時方程(1.1)的唯一正平衡點是非雙曲的。 證畢。 參考文獻 [1] M.R.Kulenovic and G. Ladas， Dynamics of Second Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures， Chapman Hall/CRC， Boca Raton， 2002
