蝴蝶定理與射影變換

中圖分類號：O185.1 文獻標識碼：A文章編號：1008-925X(2011)12-0125-01

摘要：利用射影幾何知識，探究射影變換下蝴蝶定理中的相關證明與結論，并將其應用在幾何問題中，以發揮更大作用。

關鍵詞：蝴蝶定理 射影變換 交比

通過對高等幾何的學習，更進一步的認識了幾何的意義，其中發現在射影幾何變換下的蝴蝶定理更具有代表性，以下是一些相關的舉例與結論。

例1[1] 過圓O中弦AF的中點M引任意兩弦CD和EF，連接CF和ED分別交AB于P、Q，則PM=MQ。

證明：如圖1，設I是CF和ED的交點，J是CE和FD的交點，于是IJ是M點的極線。對圓心O，有關于圓O的配極的度量意義知：OM⊥IJ，而OM⊥AB，于是AB∥IJ。設K是IM和CE的交點，由以I、D、M、F為頂點的完全四點型的調和性得：（CE，KJ）=-1，將AB上的無窮遠點記為L∞，則(C，E，K，J)∧=（P，Q，M，L），即（PQ，ML）=（CE，KJ）=-1，于是M平分PQ，則PM=MQ。

例2 設AB是二次曲線L1的一條弦，M為AB上任意一點（M不與A、B重合），過點M作二次曲線L1的任意兩弦CD、EF，交曲線于C、D、E、F，連接CF、ED分別交AB于P、Q。設AM=a，MB=b，PM=x，MQ=y，探究：a、b、x、y之間的關系。

解：如圖2，將A、F、D、E看作定點，則C（AFDB）∧-E(AFDB)

∵C（AFDB）∧-C（APMB），E（AMQB）∧-E（AFDB）

∴（APMB）=（AMQB）

即AM#8226;PBAB#8226;PM=AQ#8226;MBAB#8226;MQ 

將已知數據代入上式得：a（x+b）x=（a+y）by，化簡整理得：1x-1y=1a-1b

引申：將例2中的M點改變為AB延長線上一點R，過R點作L1的切線，則有2RM=1AM+1MB成立。

例3[2] 設二次曲線L1交有向直線x→于A、B兩點，過直線AB外點M作L1的兩弦CD、EF分別交x→于G、H，連接CF、ED交x→于I、J，記GA=a，HB=b，GI=x，HJ=y，GH=d，證明：1a+1b=1x+1y-d（1ay-1bx）。

證：如圖3所示，對于L1上的點A、B、C、D、E、F，由射影變換關系知，以C、E為中心的線束射影關系為：C（AIGB）∧-E（AHGB），即（AIGB）=（AHJB）。

∴AG#8226;IBAB#8226;IG=AJ#8226;HBAB#8226;HJ

將已知數據代入上式得：-x+d+b-bx=-a+d+y-ay

化簡整理得：1a+1b=1x+1y-d（1ay-1bx）。

例4 如圖4所示，任意四邊形ABCD的一組對邊BA、CD延長后交于P，過P作割線交另一組對邊所在直線于H、L，交對角線所在直線于M、N，求證：1PH+1PL=1PM+1PN。

文章[3]借用梅涅勞斯定理給出一中證法，文章[4]利用解析法給出另一種證法，現在用射影幾何法，對此問題作以探究。

證：如圖4，由射影幾何中透視的射影關系傳遞性[4]可得：

（PMNL）∧-B（AONC）∧-（AONC），（HMNP）∧-D（AONC）∧-（AONC）

則：（PMNL）∧-（HMNP） 

由射影關系的交比性質[5]得：

PN#8226;MLPL#8226;MN=HN#8226;MPHP#8226;MN，即1PH-1PN=1PM-1PL

于是：1PH+1PL=1PM+1PN。

此時當M=N=O時，有結論：1PH+1PL=2PO，即MO=21PH+1PL

這說明，關于線段PH、PL的調和平均的幾何表示為線段MO。

參考文獻

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