一類二階時滯差分方程的局部漸近穩定性
2011-12-31 00:00:00胡林霞
大觀周刊 2011年48期
中圖分類號：O175.7 文獻標識碼：A文章編號：1008-925X(2011)12-0126-01
1 引言
眾所周知， 生物學、生態學、物理學、生理學、經濟學和工程技術等領域內的諸多連續現象都可以用相應的微分方程來描述。但考慮到許多的實際現象在一定的范圍內和程度上總是會呈現出離散化的特征，因而有必要對實際應用中的微分方程進行離散化以得到相應的差分方程，進而對后者進行研究，以此改進和深入人們對于相關的自然現象的認識。
一個重要的特征是， 差分方程作為微分方程的離散化形式，和微分方程之間有著不可分割的重要聯系，可以用以近似地逼近連續系統的解， 但是兩種系統（連續系統和與之相應的離散系統）的解的漸近行為卻并不是經常一致的，這就使得人們更加關注差分方程自身本質的一些問題。
本文主要討論了二階非線性時滯差分方程
xn+1=a+bxn21+xn-1n∈N0 (1.1)
的所有平衡點的局部漸近穩定性，其中參數a，b∈（0，+∞），初始條件x-1，x0∈（0，+∞），N0={0，1，2，……}，給出了方程(1.1)的平衡點局部漸近穩定的一個充分條件。
為了方便的描述非線性時滯差分方程的全局行為， 首先陳述一些基本概念和一些已知結論。
考慮二階差分方程
xn+1=f(xn，xn-1)，n∈￥0 ，（1.2）
其中f:I×I是連續可微的函數，n∈￥0，K≥1為自然數，函數f(u，v，w) 關于每一個變量都有連續的偏導數。
點x-稱為差分方程 (1.2) 的一個平衡點，如果
x-=f(x-，x-)，
換句話說，當n≥-1時，xn=x-是差分方程(1.2)的解。
定義1.1 設x-是方程(1.2)的一個平衡點。則
(1)方程(1.2)的平衡點x-是局部穩定的，如果對任意的ε＞0，存在δ＞0，使得對所有滿足|x-1-x-|+|x0-x-|＜δ的x-1，x0∈I，當n≥-1時，有|xn-x-|＜ε。
(2)方程(1.2)的平衡點x-是局部漸近穩定的，如果它是局部穩定的，并且存在γ＞0，使得對所有的滿足|x-1-x-|+|x0-x-|＜γ的x-1，x0∈I，有limn→∞xn=x-。
令p=fxn（x-，x-），q=fxn-1（x-，x-），r=fxn-2（x-，x-）則方程(1.2)的關于x-的線性化方程為
xn+1=pxn+qxn-1，n=0，1，2，…
其特征方程為
λ2-pλ-q=0(1.3)
引理1.1若方程(1.3)中參數p，q，r滿足
i)|p|＜1-q，則方程(1.2)的平衡點x-是局部漸近穩定的;
ii)p2+4q＞0，|p|＞|1-q|，則方程(1.2)的平衡點x-是鞍點，是不穩定的。
2 主要結果
方程(1.1)有平衡點x-滿足
x-=a+b x-21+x-
當0＜b＜1，方程(1.1)有唯一的正平衡點x-=-1+1+4a(1-b)2(1-b)，當1 定理2.1 方程(1.1)無非負的素二周期解。 證明：不妨假設 L，φ，ψ，φ，ψ，L 是方程(1.1)的一個素二周期解，則φ和ψ滿足系統 φ=a+bψ1+φ，ψ=a+bφ1+ψ 因此 （φ-ψ）（φ+ψ+1+b）=0 由于φ+ψ+1+b>0，從而φ=ψ，這與φ≠ψ矛盾。 定理2.2 i)設0 ii)設1 證明：令f(xn+xn-1)=a+bxn21+xn-1，則 xnf(xn，xn-1)=2bxn1+xn-1， xn-1f(xn，xn-1)=-a+bxn2(1+xn-1)2， 從而方程(1.1)關于正平衡點 的特征方程為 λ2-2b x-1+x-λ+x-1+x-=0 。 i)當0 x-=-1+1+4a(1-b)2(1-b)，2(b-1)x-=1-1+4a(1-b)<1， 從而 |-2b x-1+x-|=2b x-1+x-<1+x-1+x-， 由引理1.1 i)可知，方程(1.1)的唯一正平衡點是局部漸近穩定的。 ii)當1 x-=-1-1+4a(1-b)2(1-b)，此時，2(b-1)x-=1+1+4a(1-b)>1， 從而 |-2b x-1+x-|=2b x-1+x->1+x-1+x-， 同時，(-2b x-1+x-)2-4x-1+x-=4x-(1+x-)2(b2-1-x-)>0， 利用引理1.1 ii)可知，方程(1.1)的正平衡點是鞍點，是不穩定的。 證畢。
