構造法解數學題例析
2011-12-31 00:00:00馬麗紅
大觀周刊 2011年48期
中圖分類號：G632 文獻標識碼：A文章編號：1008-925X(2011)12-0174-01
什么是構造法又怎樣去構造？構造法是運用數學的基本思想經過認真的觀察，深入的思考，構造出解題的數學模型從而使問題得以解決。構造法的內涵十分豐富，沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現實問題的特殊性為基礎，針對具體的問題的特點而采取相應的解決辦法，及基本的方法是：借用一類問題的性質，來研究另一類問題的思維方法。在解題過程中，若按習慣定勢 思維去探求解題途徑比較困難時，可以啟發學生根據題目特點，展開豐富的聯想拓寬自己思維范圍，運用構造法來解題也是培養學生創造意識和創新思維的手段之一，同時對提高學生的解題能力也有所幫助，下面我們通過舉例來說明通過構造法解題訓練學生發散思維，謀求最佳的解題途徑，達到思想的創新。
1 構造函數
函數在我們整個中學數學是占有相當的內容，學生對于函數的性質也比較熟悉。選擇爛熟于胸的內容來解決棘手問題，同時也達到了訓練學生的思維，增強學生的思維的靈活性，開拓性和創造性。
例1、已知x，y，z∈（0，1），求證：
x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1
分析：此題條件、結論均具有一定的對稱性，然而難以直接證明，不妨用構造法一試。
證：構造函數
f(x)=(y+z-1)x+(yz-y-z+1)
∵y，z∈(0，1)，
∴f(0)=yz-y-z+1=(y-1)(z-1)>0
f(1)=(y+z-1)+(yz-y-z+1)=yz>0
而f(x)是一次函數，其圖象是直線，
∴由x∈(0，1)恒有f(x)>0
即(y+z-1)x+(yz-y-z+1)>0
整理可得x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1
有些數學題似乎與函數毫不相干，但是根據題目的特點，巧妙地構造一個函數，利用函數的性質得到了簡捷的證明。解題過程中不斷挖掘學生的潛在意識而不讓學生的思維使注意到某一點上，把自己的解題思路擱淺了。啟發學生思維多變，從而達到培養學生發散思維。
2 構造幾何圖形
對于一些題目，可借助幾何圖形的特點來達到解題目的，我們可以構造所需的圖形來解題。
例2、已知：如圖所示，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上一點，GE切⊙O于C，AE⊥CE，AE的延長線與BC的延長線交于F點，CD⊥AB于D，且CD=35，cos∠F=23。求EF的長。
本題的條件多，又比較分散，因此需要認真分析題意，尋找由已知條件向所求結論轉化的轉化點。
由于CD與∠F不在同一個三角形中，所以需要尋找與∠F相等的角，或與CD相等的線段，使分散的條件集中在同一個三角形中，創造可解的直角三角形，使問題得到解決。
解：連結AC（如圖所示）
∵AB是⊙O直徑
∴∠ACB＝∠ACF＝90°
∵CE⊥AF，∴∠FCE＝∠CAF
∵ECG是⊙O的切線
∴∠GCB＝∠BAC
又∠FCE＝∠GCB
∴∠FAC＝∠BAC
∵CD⊥AB，CE⊥AF
∴CE=CD=35
在Rt△FEC中，∵cos∠F=23，∴FEFC=23
設FE=2x，FC=3x
由勾股定理，得：FE2+EC2=FC2
(2x)2+(35)2=(3x)2
解得：x=±3（舍去負值）
∴FE=2x=6
通過上述簡單的例子說明了，構造法解題有著在你意想不到的功效，問題很快便可解決。可見構造法解題重在“構造”。它可以構造圖形、方程、函數甚至其它構造，就會促使學生要熟悉幾何、代數、三角等基本知識技能并多方設法加以綜合利用，這對學生的多元思維培養學習興趣的提高以及鉆研獨創精神的發揮十分有利。因此，在解題教學時，若能啟發學生從多角度，多渠道進行廣泛的聯想則能得到許多構思巧妙，新穎獨特，簡捷有效的解題方法而且還能加強學生對知識的理解，培養思維的靈活性，提高學生分析問題的創新能力。
