圓錐曲線的應用價值

中圖分類號：O187 文獻標識碼：A文章編號：1008-925X(2011)12-0155-02

摘要：主要介紹了圓錐曲線的美學價值及在實際生活和物理學中的應用價值。

關鍵詞：圓錐曲線 美學 物理 應用價值

1 圓錐曲線的美學價值

直線給人以明快、爽朗之美。軸對稱圖形和中心對稱圖形給人以對稱、均衡的形象之美，橢圓和雙曲線集坐標軸及原點對稱美，又具有奇異美。圓錐曲線是中學數學的重要內容之一，圓錐曲線的標準方程形式簡潔、優美而勻稱，給人以一種美的享受。它是利用坐標和代數方法研究幾何問題的具體運用，是人類智慧的體現，也是大自然深層結構的美的折射。在生活中看到的橢圓形的事物，例如極具觀賞價值的芫花、樟樹的葉子就是橢圓形的；傳統觀點認為臥室中衣柜的鏡子以及餐廳中的餐桌最好是橢圓形的；天津的奧林匹克中心體育館的水滴造型就是一個不規則橢圓形，臨水而起，猶如一顆由東南風吹來的水滴，這些都讓人體會到一種詩意美景。提到圓錐曲線的美學價值，就一定要提到一個概念，那就是黃金橢圓和黃金雙曲線， 其中離心率5-12=0.618… …… 稱為黃金橢圓，離心率5+12=10.618………稱為黃金雙曲線。黃金橢圓在珠寶首飾中的應用比較廣泛。而黃金雙曲線類似的具有這些美學性質：黃金雙曲線的a、b、c成等比數列；黃金雙曲線的通徑（過焦點且垂直于實軸的弦） 長等于焦距；若方程x2a2-y2b2=1為黃金雙曲線，則方程x2a2+y2b2=1為黃金橢圓。

2 圓錐曲線在生活實際中的應用

在天文學中，著名的開普勒第一定律揭示了行星的運動軌跡都近似為橢圓軌跡，我國的嫦娥1 號的繞月飛行軌道以及人造衛星的運行軌道都近似為橢圓曲線。通常在一個二體系統中，行星的運動軌跡近似為橢圓，被圍繞的恒星在橢圓的一個焦點上。

在建筑學中，我們可以看到許多的建筑呈橢圓形，例如運動場，橢圓形賽場能夠很好地照顧到觀眾視線的均衡，這一點可以從橢圓的第一定義表現出來。人們在設計高大的立塔時，就采取單葉雙曲面的體形，既輕巧又堅固。建筑學中，大部分拱橋的橋孔呈拋物線形，這種橋造型優美，曲線圓潤，富有動感，并且能節約工程造價，比如著名的北京頤和園的玉帶橋。

雙曲線在生活中的重要作用是確定移動物體的位置，如軍事上的“雙曲線導航法”，雙曲線的定位主要是采用兩個相隔一定距離的點，通過時間差來測量聲源的位置。日常生活中有一種叫卡賽格倫的天線，它由主發射器、副發射器和輻射源組成。其中主發射器為旋轉拋物面，副發射器為旋轉雙曲面，雙曲面的一個焦點與拋物面的焦點重合，而輻射源位于雙曲面的另一個焦點上。由副發射器對輻射源發出的電磁波進行一次發射，將電磁波發射到主發射器上，再經主發射器發射后獲得平面波波束，以實現定向發射。這種天線的結構較為緊湊，制作起來也比較方便。我國首先研制成功了一種“雙曲線電瓶新聞燈”。個頭比較小，電瓶帶在打燈人的身上，可以離得比較遠，光線又顯得比較柔和，效果很好。在生活實際中有許多拋物線的存在，比如我們看到籃球運動員投的球是沿拋物線運行，球在跳躍的過程中也是沿拋物線運行；噴泉噴出來的水流也是沿拋物線路徑落下；即使在黑夜里，司機的視野也不會受到影響，有利于汽車在夜間行駛的安全性。探照大燈、手電筒內的反光鏡面的形狀采用的也是拋物面形。體育運動中的投擲、跳遠。現實生活中數學問題比比皆是，圓錐曲線在現實生活中的應用價值幾乎無處不在。

3 圓錐曲線在物理學中的應用

在物理光學應用中，根據拋物線的光學性質，人們研究出了汽車大燈，這類大燈的原理就是將處于拋物線鏡面的焦點處的光源發出的光經反射后形成一組平行的光線，這樣就能將光線投射到很遠的地方而不會發散。

運動質點在某力場中運動時始終受到來自某定點的力的作用，且力的作用線為運動質點和該定點的連線，運動質點所受的這種力統稱為有心力，這個定點則稱作力心。質點在這樣的有心力作用下的運動就叫做有心力運動。有心力運動的現象，在自然界中是大量存在的。例如行星繞太陽的運動，人造衛星繞地球的運動，以及小到我們肉眼直接看不到的原子內部的電子繞原子核的運動和α粒子的散射等等都屬于有心力運動。有心力運動的基本特點：在有心力場中，對力心的角動量守恒；在有心力場中質點作平面運動；有心力運動的面積速度是恒定的；有心力存在勢能。運動質點在在有心力場中的運動軌跡為圓錐曲線：圓、橢圓、拋物線或雙曲線。物理競賽中常常涉及這四中圓錐曲線的運動問題，我們可以利用它們的性質，巧妙的求解運動時間、射程、運動方向等問題。 

3.1 利用橢圓的性質，巧解時間問題。天體運動軌跡往往是圓或著是橢圓，求解運動時間的問題，對于圓或橢圓半個周期的整數倍，利用開普勒第三定律是比較容易求解的，但對于橢圓運動中一般時間的求解往往要用高等數學求解，比較麻煩，這里我們介紹一種利用圓和橢圓的性質，用初等數學來巧妙求解橢圓冠的面積，根據開普勒第二、第三定律求解橢圓軌道中的運動時間問題。

3.2 利用拋物線的性質可巧解射程問題。拋體運動的軌跡是拋物線，往往涉及射程問題，形如y=ax2+bx+c的一元二次方程的圖像是拋物線，將其配方為y=a（x+b2a）2+4ac-b24a，知其對稱軸為x=-b2a，若拋物線與x軸的交點坐標為x1、x2，則有x=x1+x2，當拋物線過坐標原點且x=-b2a≠0時，即x1=0，所以x2=2x。利用拋物線的這些性質，可以巧解射程問題。

在有心力作用下拋物線運動的射程極值問題用函數求解是常用方法，但有時會比較繁瑣。巧妙利用拋物線的標準方程、對稱軸、截距等性質以及矢量三角形求解射程的極值問題。

3.3 利用雙曲線的性質可巧解方向問題。當質點在有心力場中的運動運動軌跡是雙曲線或雙曲線的一只時，常常涉及運動方向的問題，其方向的求解我們往往可以通過雙曲線的漸近線和雙曲線中a、b、c三者關系a2=b2+c2巧妙求解運動方向問題。（舉例略）

4 結語

圓錐曲線不僅在數學領域上有廣泛的應用，它與我們的生活也是息息相關。通過圓錐曲線的這些性質，可以解決我們生活中的很多問題。

參考文獻

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