圓錐曲線的應(yīng)用價(jià)值

中圖分類號：O187 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-925X(2011)12-0155-02

摘要：主要介紹了圓錐曲線的美學(xué)價(jià)值及在實(shí)際生活和物理學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線 美學(xué) 物理 應(yīng)用價(jià)值

1 圓錐曲線的美學(xué)價(jià)值

直線給人以明快、爽朗之美。軸對稱圖形和中心對稱圖形給人以對稱、均衡的形象之美，橢圓和雙曲線集坐標(biāo)軸及原點(diǎn)對稱美，又具有奇異美。圓錐曲線是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程形式簡潔、優(yōu)美而勻稱，給人以一種美的享受。它是利用坐標(biāo)和代數(shù)方法研究幾何問題的具體運(yùn)用，是人類智慧的體現(xiàn)，也是大自然深層結(jié)構(gòu)的美的折射。在生活中看到的橢圓形的事物，例如極具觀賞價(jià)值的芫花、樟樹的葉子就是橢圓形的；傳統(tǒng)觀點(diǎn)認(rèn)為臥室中衣柜的鏡子以及餐廳中的餐桌最好是橢圓形的；天津的奧林匹克中心體育館的水滴造型就是一個不規(guī)則橢圓形，臨水而起，猶如一顆由東南風(fēng)吹來的水滴，這些都讓人體會到一種詩意美景。提到圓錐曲線的美學(xué)價(jià)值，就一定要提到一個概念，那就是黃金橢圓和黃金雙曲線， 其中離心率5-12=0.618… …… 稱為黃金橢圓，離心率5+12=10.618………稱為黃金雙曲線。黃金橢圓在珠寶首飾中的應(yīng)用比較廣泛。而黃金雙曲線類似的具有這些美學(xué)性質(zhì)：黃金雙曲線的a、b、c成等比數(shù)列；黃金雙曲線的通徑（過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦） 長等于焦距；若方程x2a2-y2b2=1為黃金雙曲線，則方程x2a2+y2b2=1為黃金橢圓。

2 圓錐曲線在生活實(shí)際中的應(yīng)用

在天文學(xué)中，著名的開普勒第一定律揭示了行星的運(yùn)動軌跡都近似為橢圓軌跡，我國的嫦娥1 號的繞月飛行軌道以及人造衛(wèi)星的運(yùn)行軌道都近似為橢圓曲線。通常在一個二體系統(tǒng)中，行星的運(yùn)動軌跡近似為橢圓，被圍繞的恒星在橢圓的一個焦點(diǎn)上。

在建筑學(xué)中，我們可以看到許多的建筑呈橢圓形，例如運(yùn)動場，橢圓形賽場能夠很好地照顧到觀眾視線的均衡，這一點(diǎn)可以從橢圓的第一定義表現(xiàn)出來。人們在設(shè)計(jì)高大的立塔時(shí)，就采取單葉雙曲面的體形，既輕巧又堅(jiān)固。建筑學(xué)中，大部分拱橋的橋孔呈拋物線形，這種橋造型優(yōu)美，曲線圓潤，富有動感，并且能節(jié)約工程造價(jià)，比如著名的北京頤和園的玉帶橋。

雙曲線在生活中的重要作用是確定移動物體的位置，如軍事上的“雙曲線導(dǎo)航法”，雙曲線的定位主要是采用兩個相隔一定距離的點(diǎn)，通過時(shí)間差來測量聲源的位置。日常生活中有一種叫卡賽格倫的天線，它由主發(fā)射器、副發(fā)射器和輻射源組成。其中主發(fā)射器為旋轉(zhuǎn)拋物面，副發(fā)射器為旋轉(zhuǎn)雙曲面，雙曲面的一個焦點(diǎn)與拋物面的焦點(diǎn)重合，而輻射源位于雙曲面的另一個焦點(diǎn)上。由副發(fā)射器對輻射源發(fā)出的電磁波進(jìn)行一次發(fā)射，將電磁波發(fā)射到主發(fā)射器上，再經(jīng)主發(fā)射器發(fā)射后獲得平面波波束，以實(shí)現(xiàn)定向發(fā)射。這種天線的結(jié)構(gòu)較為緊湊，制作起來也比較方便。我國首先研制成功了一種“雙曲線電瓶新聞燈”。個頭比較小，電瓶帶在打燈人的身上，可以離得比較遠(yuǎn)，光線又顯得比較柔和，效果很好。在生活實(shí)際中有許多拋物線的存在，比如我們看到籃球運(yùn)動員投的球是沿拋物線運(yùn)行，球在跳躍的過程中也是沿拋物線運(yùn)行；噴泉噴出來的水流也是沿拋物線路徑落下；即使在黑夜里，司機(jī)的視野也不會受到影響，有利于汽車在夜間行駛的安全性。探照大燈、手電筒內(nèi)的反光鏡面的形狀采用的也是拋物面形。體育運(yùn)動中的投擲、跳遠(yuǎn)。現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)學(xué)問題比比皆是，圓錐曲線在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價(jià)值幾乎無處不在。

3 圓錐曲線在物理學(xué)中的應(yīng)用

在物理光學(xué)應(yīng)用中，根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，人們研究出了汽車大燈，這類大燈的原理就是將處于拋物線鏡面的焦點(diǎn)處的光源發(fā)出的光經(jīng)反射后形成一組平行的光線，這樣就能將光線投射到很遠(yuǎn)的地方而不會發(fā)散。

運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)在某力場中運(yùn)動時(shí)始終受到來自某定點(diǎn)的力的作用，且力的作用線為運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)和該定點(diǎn)的連線，運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)所受的這種力統(tǒng)稱為有心力，這個定點(diǎn)則稱作力心。質(zhì)點(diǎn)在這樣的有心力作用下的運(yùn)動就叫做有心力運(yùn)動。有心力運(yùn)動的現(xiàn)象，在自然界中是大量存在的。例如行星繞太陽的運(yùn)動，人造衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動，以及小到我們?nèi)庋壑苯涌床坏降脑觾?nèi)部的電子繞原子核的運(yùn)動和α粒子的散射等等都屬于有心力運(yùn)動。有心力運(yùn)動的基本特點(diǎn)：在有心力場中，對力心的角動量守恒；在有心力場中質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動；有心力運(yùn)動的面積速度是恒定的；有心力存在勢能。運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)在在有心力場中的運(yùn)動軌跡為圓錐曲線：圓、橢圓、拋物線或雙曲線。物理競賽中常常涉及這四中圓錐曲線的運(yùn)動問題，我們可以利用它們的性質(zhì)，巧妙的求解運(yùn)動時(shí)間、射程、運(yùn)動方向等問題。 

3.1 利用橢圓的性質(zhì)，巧解時(shí)間問題。天體運(yùn)動軌跡往往是圓或著是橢圓，求解運(yùn)動時(shí)間的問題，對于圓或橢圓半個周期的整數(shù)倍，利用開普勒第三定律是比較容易求解的，但對于橢圓運(yùn)動中一般時(shí)間的求解往往要用高等數(shù)學(xué)求解，比較麻煩，這里我們介紹一種利用圓和橢圓的性質(zhì)，用初等數(shù)學(xué)來巧妙求解橢圓冠的面積，根據(jù)開普勒第二、第三定律求解橢圓軌道中的運(yùn)動時(shí)間問題。

3.2 利用拋物線的性質(zhì)可巧解射程問題。拋體運(yùn)動的軌跡是拋物線，往往涉及射程問題，形如y=ax2+bx+c的一元二次方程的圖像是拋物線，將其配方為y=a（x+b2a）2+4ac-b24a，知其對稱軸為x=-b2a，若拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為x1、x2，則有x=x1+x2，當(dāng)拋物線過坐標(biāo)原點(diǎn)且x=-b2a≠0時(shí)，即x1=0，所以x2=2x。利用拋物線的這些性質(zhì)，可以巧解射程問題。

在有心力作用下拋物線運(yùn)動的射程極值問題用函數(shù)求解是常用方法，但有時(shí)會比較繁瑣。巧妙利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、對稱軸、截距等性質(zhì)以及矢量三角形求解射程的極值問題。

3.3 利用雙曲線的性質(zhì)可巧解方向問題。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在有心力場中的運(yùn)動運(yùn)動軌跡是雙曲線或雙曲線的一只時(shí)，常常涉及運(yùn)動方向的問題，其方向的求解我們往往可以通過雙曲線的漸近線和雙曲線中a、b、c三者關(guān)系a2=b2+c2巧妙求解運(yùn)動方向問題。（舉例略）

4 結(jié)語

圓錐曲線不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域上有廣泛的應(yīng)用，它與我們的生活也是息息相關(guān)。通過圓錐曲線的這些性質(zhì)，可以解決我們生活中的很多問題。

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