完全四邊形調和性質的應用

中圖分類號：O185.1 文獻標識碼：A文章編號：1008-925X(2011)12-0130-01

摘要：利用完全四點形的調和性質解決初等幾何問題：證明線段的中點、求二次曲線的極線，從中給出梯形4點共線的結論及作圖法。

關鍵詞:完全四點形 調和性 梯形 中點 極線 作圖

高等幾何作為數學專業的教師教育課程，有著自身特殊的作用，它對初等幾何的教學、研究有具體的指導意義。高等幾何為我們提供了解決初等幾何問題的有用思想方法，對于我們思考和解決問題有重要的指導作用。

定義 完全四點形平面上四個點(無三點共線)以及聯結其中任意兩點的六條直線所組成的圖形稱為完全四點形。

性質1 在完全四點形的對邊三點形的每一條邊上有一組調和共軛點，其中兩個點是對邊點，另外兩個點是這條邊與通過第三個對邊點的一對對邊的交點。

性質2 在完全四點形的每一條邊上有一組調和共軛點，其中兩個點是頂點，另外一對點偶里，一個點是對邊點，另外一個點是這個邊與對邊三點形的邊的交點。

1 應用完全四點形的調和性研究初等幾何問題

例1 （1978年中國數學競賽題）已知四邊形ABCD中，AB與CD交于E，AD與BC交于F，AC與EF交于N，BD∥EF，求證EN=NF。

證明:在四邊形ABCD中，BD∥EF，設BD與EF交于無窮遠點P∞，由完全四點形ABCD的調和性質知(EF，NP∞)=-1。

根據性質1，得N為EF的中點，即EN=NF。

如圖1，若設AC與BD交于Q，則根據性質2，得(BD，QP∞)=-1。于是Q為BD的中點，即BQ=QD。

結論 梯形兩腰延長線的交點，對角線的交點，上下底的中點必4點共線。

2 利用完全四點形的調和性研究作圖問題

例2 僅用無刻度的直尺作A，B，C的第四調和點D。 

作法：

①過A，B，C直線L外一點S作線束SA，SB，SC;

②在SC上取一點Q，并AQ×SB=T，BQ×SA=R;

③作RT×L于D，即D為(AB，CD)=-1的第四點。

證明：如圖2所示，取完全四邊形SAQB，則(SQ，CE)=-1，(AB，CD)=-1。

即：D為調和點列A，B，C的第四點。

此時，由完全四邊形SAQB，得(RT，DE)=-1。若AB∥RT，則AB與RT交于無窮遠點D∞，于是得C為AB的中點、E為RT的中點。

結論 如圖2，分別連接兩平行線段梯AB、RT端點的兩對直線的交點直線SQ平分兩平行線段。

即給出平分兩平行線段的一種幾何作圖法。

另外，若全四邊形SAQB內接于二次曲線，由于(SQ，CE)=-1，(AB，CD)=-1。又D、E兩點確定一條直線，因此在高等幾何中，將直線DE稱作極點C關于二次曲線的極線。于是，可給出二次曲線的極線的作圖。

例3 求作一已知二次曲線內一點的極線。

作法：

①過P作兩直線AC，BD，交二次曲線T于A，B與C，D；

②分別設Q=AC×BD，R=AD×BC;

③連接QR就是所求的極線。

證明：設E=QR×AB，F=QR×CD，取完全四邊形ABCD，則由完全四邊形的調和性質有：(PE，AB)=-1，(PF，CD)=-1，所以，由共軛的定義，E和F是P的兩個共軛點，從而直線EF即QR就是P點的極線。

綜上所述，完全四邊形的調和性在作二次曲線的極線中應用廣泛，所以恰當利用完全四點形的調和性質證明初等幾何問題，降低了解決問題的難度，命題的證明思路清晰，過程簡潔。注重揭示高等幾何與初等幾何的內在聯系，這樣可以擴大我們的知識領域，拓寬我們的視野，有助于站在新的高度上，深入地理解初等幾何，提高我們駕馭教材的能力。

參考文獻

[1] 梅向明，劉增賢，門樹慧.高等幾何[M].北京:高等教育出版社，1988

[2] 朱德祥.初等幾何研究[ M].北京:高等教育出版社，1999

[3] 李長明.初等數學研究[M].北京:高等教育出版社，1995