催生點.激發點.活化點

前不久，本人有幸參加了在大連舉辦的第十七屆東北三省四市青年數學教師大獎賽.本屆大賽4位選手都選了同一課題“圓周角”，在完完整整聽了4節課后，結合選手的教學實際及自己的體會和認識，寫了這篇文章.

一、教學內容多鏈條的剖析和把握突出整體結構

“圓周角”一節課是經典內容，在教學大獎賽中很多見.我認為這節課就是一概念、一定理、一圖形、一方法、一工具和一思想.

二、概念教學的多渠道引入突出圓周角的 “三要素”

圓周角的概念有多種引入方法.但不管哪種方法，貴在突出定義的三要素.

引入1，直接敘述法：“頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角”.這樣開門見山簡單明了是典型的接受性學習的教學方式.

引入2，圖形辨析法：在大屏幕上給出多個圓及圓上的角，讓學生認識圓周角.這種引入的優點在于正反辨析中得出圓周角的定義，做到定義及定義鞏固兩手抓.大連的選手就是這樣做的.

引入3，情境引入法：在海洋館看海豚什么位置看得最清楚？（這是遼寧省和長春市選手的引入方法，哈爾濱市的選手通過中超足球聯賽大連實德隊員射門角度引入）情境引入是新課程理念的產物.有利于激發學生的學習興趣，同時也說明了生活中處處有數學的道理.

引入4，動手操作法：哈爾濱市的選手把一張畫好圓的紙片發給學生，讓學生動手在圓上畫角，學生在具體操作中，親身體驗和感悟學習圓周角，即培養了學生的動手能力，又明確了圓周角的概念.

引入5，以舊引新法：長春市的選手就是用的這種方法.屏幕上顯示圓心角，復習圓心角的概念，屏幕上再顯示圓周角，類比兩種角的區別，從而得出圓周角的概念.如果再用運動的觀點，將角的頂點由圓心移動到圓上就更好了.

以上幾種概念的引入各有各的特點，各有各的長處.但是不論哪種方法引入，其中心只有一個，要吃透圓周角定義的三個要素：頂點在圓上，角的兩邊都與圓相交，相交于頂點所在的圓上.

三、定理證明探究的多元性方法突出一個基本圖形

本節課的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.這個定理可分兩個層面，簡要的說：一是圓周角相等，一是圓周角等于圓心角的一半.特別要注意定理成立的三個條件：在同圓或等圓上，同弧或等弧，這條弧所對的圓周角或圓心角.關于圓周角相等的問題容易解決.只要在屏幕上演示頂點在圓周上運動，角的邊所夾的弧長不變即可.而要證明同弧或等弧上的圓周角等于圓心角的一半，則是這節課的重點之所在.如何成功引導學生猜想和探究，則是這節課是否成功的重要標志.然而這節課的證明的關鍵點在于抓住3種分類（圓心在圓周角的一條邊上，在圓周角內部，在圓周角外部），1個基本圖形（圓心在圓周角的一條邊上），3個基本工具（同圓半徑相等，等腰三角形兩底角相等，外角定理）.

定理猜想探究證明方法1：大連市的選手十分重視理論證明，在圓心在圓周角外的情況下，引導學生用多種方法證明結果的成立.

證法一：

如圖1，延長BO交⊙O于點D，連接CD，則∠A=∠D.

∵OC=OD，∴∠D=∠DCO，

∴∠BOC=∠D+∠DCO=∠D+∠D=2∠D=2∠A.

此證法先進行一個轉化，把∠A轉化成等角∠D，再利用基本圖形證之.

證法二：

如圖2，連接AO并延長，交⊙O于點D.

∵OA=OC，OA=OB，

∴∠OAC=∠OCA，∠OAB=∠OBA.

∴∠DOC=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，

∠DOB=∠OAB+∠OBA=2∠OAB.

∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2∠OAC-2∠OAB

=2（∠OAC-∠OAB）

=2∠BAC.

此證法直接應用了基本圖形.

證法三：

如圖3，連接OA，設AB、OC交于點M.

∵OA=OB，OA=OC.

∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠C.

∵∠BMC=∠OBA+BOC=∠BAC+∠C，

∴∠BOC=∠BAC+∠C-∠OBA

=∠BAC+∠OAC -∠OAB

=∠BAC+∠BAC

=2∠BAC.

此證法沒用到基本圖形，利用了外角定理及等腰三角形兩底角相等、等量代換等方法加以證明.比較而言，證明稍煩瑣.

定理猜想探究證明方法2：哈爾濱市的選手是這樣設計的：

在上課開始時，發給學生畫有圓的紙片，讓學生在紙片上畫各類圓周角.先讓學生折疊看圓心與圓周角的位置關系，體現分類思想；然后鼓勵猜想同弧所對圓周角與圓心角的關系，猜想之后，先用量角器測量結果；教師用多媒體演示驗證；最后理論證明.整個探究過程歷經了：畫——折——猜——測——驗——證一條龍的思維過程.體現了創設情境感受圓周角；對比分類認識圓周角；觀察猜想探究圓周角；實驗應用升華圓周角；暢談收獲反思圓周角的新課程理念.

在探究過程中體現了分類思想，轉化思想，由一般到特殊，再由特殊到一般的思想；類比思想等四大數學思想.

四、習題訓練的多層次性突出知識再現

“圓周角”這節課的習題數量并不是太多，但總體上看，從知識間的前后聯系上講，在習題訓練的設計上，要體現出基礎性訓練題：主要是消化當堂課的基本概念、定理、性質、公式、法則等；強化性訓練：在基礎性訓練的基礎上，加大訓練的內容和難度，使其基礎性知識得到鞏固和深化；綜合性訓練：在前兩種訓練的前提下，體現知識間的聯系，進行專題訓練和變式訓練，提高學生綜合能力.

（一）基礎性訓練

選擇題：

1.下列說法正確的是（）.

A.角的頂點在圓上的角叫圓周角

B.兩邊都與一個圓相交的角叫圓周角

C.角的頂點在圓上，角的兩邊在園內的角叫圓周角

D.一個圓心角與圓相交的兩點不動，將圓心角的頂點

移到圓上，此時的角是圓周角

2.下列說法正確的是（）.

A.在同圓或等圓上，劣弧所對的圓周角相等.

B.在同圓或等圓上，同弧或等弧所對的圓心角等于這

條弧所對的圓周角的2倍.

C.在同圓或等圓上，同一弦所對的圓周角一定相等.

D.在同圓或等圓上，如果兩個圓周角相等，它們所對

的弧不一定相等.

3.如下圖，相等的角有（）對.

A.3

B.4

C.5

D.6

填空題：

1. 如下圖，在⊙O中，∠O=100°，則∠A= _________°

2. 如下圖，在⊙O中，∠ACB=35°，則∠α= ___________°

3. 如上圖，在⊙O中，∠MDB=145°，則∠α=_______°

4. 如上圖，AB是⊙O的直徑，則∠ADB=_________；

是半圓，則∠ADB=_________.

（二）強化性訓練

1.如下圖，⊙O中，弦AB，CD相交于點P，∠A=40°，∠APD=75°，則∠B=（ ）.

A. 15°B. 40° C. 75° D. 35°

2.（1）如下圖，在⊙O中，∠C與∠G有怎樣的數量關系？

（2）如下圖，在⊙O中，∠C=∠G那么 和的大小有什么關系？為什么？

3.如下圖，OA⊥BC，∠AOB=50°，試確定∠ADC的大小.

（三）綜合性訓練題

1.如下頁圖，A、P、B、C是⊙O上的4點，∠APC=∠CPB=60°，判斷△ABC的形狀并證明你的結論.

2.在1的條件下，判斷PA、PB、PC之間的關系.

3.若1題中，若∠APC=∠CPB=45°，判斷△ABC的形狀.

4.在3的條件下，判斷PA、PB、PC之間的關系.

五、教學內涵多角度的拓展深化突出設計的升華

四節課聽下來，選手們十八般武藝盡收眼底，但筆者認為還應該進行更深層次的思考.

首先，教學理念方面：情境創設中愉悅學習；在問題解決中理解學習；在合作交流中體驗學習；在實踐活動中應用學習；在媒體的運用中聯想學習.

其次，關于教學內容的選擇方面：①吃透教材所占的地位和作用，知識的整體結構、主要線索，縱橫聯系，把握好知識點、形成知識鏈、構成知識網；②吃透教材的編寫意圖、知識體系，重組加工教學內容，把握住教材的重點、難點、訓練點；③吃透教材中適應多層次的需求內涵，把握住教學的深度、廣度和密度；④吃透教材中的育人因素，把握住知識目標、情感目標、德育目標、能力目標；⑤吃透素質教育對課堂教學的要求，把握住知識的停靠點，解決“學會”問題；把握住情感激發點，解決“樂學”問題；把握住思維展開點，解決“會學”問題.

再次，關于教學有效性方面：①教學內容選擇的有效性；②教學講解的有效性；③教學參與的有效性；④教學提問的有效性；⑤信息技術使用的有效性；⑥教學練習的有效性；⑦作業批改的有效性；⑧教學反思的有效性；⑨教學評價的有效性；⑩教學復習的有效性；11教學診斷的有效性；12學矯正的有效性；13教學輔導的有效性

“圓周角”一節課內涵極其豐富，知識生成的催化點，思維活動的激發點，探究過程的活化點是其精華之所在.