運用變式教學 培養數學能力

〔關鍵詞〕 數學教學；變式教學；數學能力；概念；定理；公式；例題；習題

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2011）07（A）—0034—０３

素質教育是21世紀中國教育的主旋律，課堂教學是實施素質教育的重要環節，而中學數學課堂教學操作模式是實施數學素質教育的關鍵.為了全面提高學生的基本素質、培養學生的創新精神、開發學生的智能潛力，作為教學模式的一種——變式教學，是提高學生數學能力的一種重要途徑.

變式是指相對于某種范式（即教材中具體數學思維成果，包含基本知識、知識結構、典型問題、思維模式等）的變化形式，即不斷變更問題的情境或改變思維的角度，在保持事物本質特征不變的情況下，使事物的非本質屬性不斷遷移的變化方式.變式有多種形式，如形式變式、內容變式、方法變式等.變式既是一種重要的思想方法，又是一種重要的教學途徑.通過變式進行技能和思維的訓練叫做變式訓練；采用變式進行教學叫做變式教學.變式教學要求教師在課堂上通過變式展示知識發生、發展、形成的完整的認知過程.因此，變式教學有利于培養學生研究、探索問題的能力，是教學中學生思維訓練和技能培養的重要途徑.

我認為在變式教學的過程中，應包括以下幾個方面的內容：

一、概念、定理、公式的變式教學

1. 知識形成過程中的問題設計.從培養學生思維能力、創新意識的要求來看，數學概念的形成過程和其內涵、外延的揭示過程比數學概念的定義本身更重要.在知識形成過程的教學中，教師不應直接將現成結論教給學生，而應充分利用實驗、特例、多媒體教學等手段，設計系列問題，增加輔助、探索環節，引導學生從直觀想象出發去發現、猜想.通過多樣化的變式，培養學生觀察、分析以及概括的能力.然后，讓他們給出驗證或理論證明，使他們形成一個完整的認知過程，逐步掌握認識事物、發現規律和真理的方式、方法.

2. 基本概念辨析型變式.數學概念的變式主要包括概念的引入變式、辨析變式、深化變式和鞏固變式.

對概念的引入變式舉例如下：

例1奇偶函數的定義，可通過下列變式題組引入：

（1）設f（x）=2x2，g（x）=x4+1，計算①f（1），f（-1），g（2），g（-2）；② f（a），f（-a），g（a），g（-a）；③ f（x），

f（-x），g（x），g（-x）.

（2）設f（x）=x3，g（x）=-，計算①f（1），f（-1），g（2），g（-2）；② f（a），f（-a），g（a），g（-a）；③ f（x），

f（-x），g（x），g（-x）.

首先，教師應引導學生觀察計算結果，并得出結論：在（1）中，有f（x）=f（-x），g（x）=g（-x）；在（2）中，有f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x）.然后，啟發學生指出兩類函數的特點，從而引進奇偶函數的概念.

對概念的鞏固變式舉例如下：

例2已知f（x）=x（1-x）（x>0），x（1+x）（x<0），證明f（x）是奇函數.

變式1已知f（x）=x（1-x） （x>0），1（x=0），x（1+x）（x<0），試判斷f（x）的奇偶性；

變式2已知f（x）=x（1-x） （x>0），０（x=0），x（1+x）（x<0），試判斷f（x）的奇偶性；

變式3已知f（x）為奇函數，且x>0時，（f）x=x（1-x），求f（x）在x<0時的表達式；

變式4已知f（x）是偶函數，且x>0時，（f）x=x（1-x），求f（x）在x<0時的表達式.

通過上述變式的引入，可以使學生不僅對函數的奇偶性定義有了更深刻的理解，而且對不同題型的解法之間的內在聯系有了更深入的認識.

在概念形成后，教師不應急于讓學生應用概念解決問題，而應引導學生多角度、多方位、多層次地探索概念的變式，透過現象看本質.一方面，可針對概念的內涵與外延設計變式問題，在弄清其內涵與外延的過程中，培養學生思維的深刻性；另一方面，可針對一些內容或形式相似、易造成混淆的問題，在教學中設計辨析變式問題，使學生在錯綜復雜的事物聯系中發現事物的本質，并學會客觀地評價事物.

3. 定理、公式的深化變式.一些定理、公式的推導、證明方法具有典型性，往往代表了一類典型的解題方法或思想，對它們的證明及推導方法加以探索，有利于學生解題思想方法的形成、鞏固，并深化已學過的知識，從而培養學生的求異思維、創新意識.

例3（等比數列求和公式的推導）設等比數列{an}的首項為a1，公比為q，則其前n項和為：Sn=na1（q=1），（q≠1）.當q=1時，Sn=na1是顯然的，下面僅給出q≠1時的公式推導方法：

方法一：（錯位相減法）設Sn=a1+a1q+…+a1qn-1①，qSn=a1q+a1q2+…+a1qn②.

①-②得：（1-q）Sn=a1-a1qn，∴當q≠1時，Sn=.

方法二：（公式法）由整式除法知，當q≠1時，=1+q+q2+…+qn-1，兩邊同乘以a1，得：=a1（1+q+q2+ … +qn-1）， ∴ Sn=a1+a1q+ … +a1qn-1=.

方法三：（轉換法）Sn+1=Sn+a1qn=a1+a1q+…+a1qn-1+a1qn=a1+q（a1+a1q+ … +a1qn-1）=a1+qSn . ∴當q≠1時，Sn+a1q=a1+qSn，即Sn=.

方法四:（比例性質法）==…==q，由等比定理得q=，即=q，當q≠1時得：Sn=.

4. 圖形變式.在數學教學中教師應盡可能利用圖形位置和襯托背景的變化，反復變更概念的非本質屬性，突出且保持概念的內涵特征，幫助學生形成正確的概念思維，培養學生思維的廣闊性.

二、例題、習題的變式教學

1. 一題多解變式.即引導學生對同一問題從不同角度加以思考，探求不同的解答方案，從而培養學生思維的敏捷性.

例4已知a，b，m∈R+且a.

證法1：∵a，b，m∈R+，∴欲證>，只需證（a+m）b>a（b+m），即bm>am，因此只需證明b>a成立.∵a.

證法2：∵a，b，m∈R+，a=-1，故>.

證法3：∵a，b，m∈R+，a=，即>.

證法4：∵b>a>0，∴可設b=ka（k>1），而m∈R+，∴=>==.即>.

上述各種證法涉及不等式證明的常用方法：分析法、比較法、放縮法及構造法等.通過對本題證法的全方位探討，無疑能培養學生的觀察能力、想象能力及綜合能力.

2. 一法多用變式.即將解決某一問題的方法加以歸納、總結并形成技巧，用以解決其他問題.這種變式能達到多題歸一的目的，能培養學生對知識、方法的遷移能力.

3. 一題多變變式.即從一道習題出發，運用逆向或橫向思維，通過改變題目條件、變化題型、變特殊條件為一般條件等手段，使原來的一道題變成一類題，再由一類題變為多類題，并通過對變題的研究、解決，使學生形成完整的知識結構，培養學生思維的靈活性、創造性的變式.

例5求曲線y2=4-2x上與原點距離最近的點P的坐標.

變題一：（將條件一般化，提高應變能力）在曲線y2=4-2x上求一點M，使此點到A（a，0）的距離最短，并求最短距離.

變題二：（改變背景，提高創新能力）拋物線G1：y2=4-2x與動圓G2：（x-a）2+y2=1沒有公共點，求a的取值范圍.

變題三：已知拋物線C：y2=4-2x，圓心在x軸上的動圓在拋物線的內部相切于拋物線C的頂點，求動圓半徑的取值范圍.

變題四：（聯系實際，增強應用意識）一只酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的函數解析式是y=（0≤y≤20），在杯內放一個玻璃球，要使球觸及杯底，求玻璃球半徑r的取值范圍.

變題五：（變換條件結論，提高探索能力）是否存在滿足下列條件的拋物線：（1）準線是x=；（2）頂點在x軸上；（3）點O（0，0）到此拋物線上動點M的距離的最小值為.若存在，有幾條？并求方程.若不存在，說明理由.

三、教法、學法的變式

所謂教法、學法的變式，即教師在一堂課中根據教材的特點在貫穿啟發式教學的同時，或講授、或點撥、或討論、或探索、或練習、或實驗，運用多種教學手段，不斷變換教與學的方法，充分發揮學生的主體作用，使教師的主導作用與學生的主體作用達到和諧統一，大幅度提高課堂教學效率.

四、數學變式教學應注意以下幾個方面

如上對主要的數學變式教學方法進行了說明，但應當指出，數學變式不是為了變式而變式，而是要根據教學需要，遵循學生的認知規律.其目的是通過變式訓練，使學生在理解知識的基礎之上，把學到的知識轉化為能力，形成技能、技巧，完成“應用——理解——形成技能——培養能力”的認知過程.因此，數學變式教學要有一定的藝術性，要正確把握變式的度. 一般在數學變式教學時應注意以下幾個問題：

1. 差異性. 數學變式教學要突出一個變字，避免簡單的重復.變式題組的題目要有明顯的差異，每道題要使學生既感到熟悉，又感到新鮮.從心理學的角度看，新鮮的題目對學生的刺激性強，學生的神經興奮度高，做題時注意力就集中，思維就敏捷，從而能使訓練達到較好的效果.因此，數學變式教學要努力做到變中求活，變中求新，變中求異，變中求廣.

2. 層次性.數學變式教學要有一定的難度，才能調動學生的積極思考.但是，變式要由易到難，層層遞進，讓問題處于學生思維水平的最近發展區，以充分激發學生的好奇心和求知欲；要讓學生經過思考，能夠跨過一個個門坎，從而起到培養學生的思維能力，發展學生的智力的作用.

3. 開闊性.一幅好畫，境界開闊就會令人回味無窮.同樣，數學變式教學，一定要內涵豐富，境界開闊，給學生留下充足的思維空間，讓學生感到內容充實.因此，所選范例必須要有典型性：一要注意知識的橫向聯系；二要能夠進行一題多解；三要具有延伸性，可進行一題多變.

4. 靈活性.根據教學內容和學生的實際情況，數學變式訓練的方式要靈活多樣，口頭、書面、板演均可，力求使學生的獨立練習和教師的啟發引導下的半獨立練習相結合.同時，根據教學內容，有時可分散訓練，有時可集中訓練，有時一個題目的變式可分幾次完成，以充分展示知識螺旋上升的形式. 這種靈活的訓練方式不僅可以提高學生的興趣，集中學生的注意力，而且可以使學生的多種感官參與學習，提高學生大腦和神經的興奮度，達到最佳的訓練效果.

編輯：劉立英

注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”