數學圖式:促進教和學的意義融通

【摘要】 從當下數學教學和學生數學學習的現狀考量，從數學圖式的角度切入分析學生的數學學習究竟是怎么一回事，提出了數學學習是幫助學生把數學知識圖式化和經驗化的重要過程，是通過數學圖式促進學生把數學知識抽象化、系統化的核心手段. 從而建構教和學真正意義的融通，促進學生的數學學習.

【關鍵詞】 數學圖式；意義；融通；教；學

真正的學習是不能在主體間直接“傳遞”的，換句話說：學習不是“我一說你就會”的，教師永遠無法代替學生去學習. 在教學現場，我們從學生的學習方式和生存狀態的視角觀察教師的教學現狀，我們發現有的教師習慣于教成人思維方式的“直接傳遞”，而忽視學生個體內在的學習方式. 教師往往自覺不自覺地用成人的“指導”代替學生的思考，而忽視學習內在的學習方式，忽視學生個體學習經驗. 那么學生究竟是以什么樣的方式內化知識？ 教學如何遵循學生的認知規律和個體學習經驗？在教和學的過程中需要尋找學習的路徑，架構一種學習通道，其目的是引發學習主體在心理上產生相應的功能結構，對知識的學習形成具有自身學習方式和學習經驗參與的內在轉化，從而獲得對數學知識本質的理解、掌握和運用. 一個重要的問題是數學學習圖式始終伴隨著兒童學習數學的過程，使教和學產生建立在不同數學知識意義上的融通.

一、數學學習是幫助學生把數學知識圖式化、經驗化的重要過程

為什么說學生的數學學習是圖式化和經驗化的過程呢？兒童究竟以什么樣的方式進行學習呢？知識是以什么樣的形式存在于兒童的經驗世界中？

圖式是“潛藏在人類心靈深處的”一種技術，一種技巧（康德）. 作為潛藏在人類心靈深處的技術和技巧顯然具有個體獨特的內在學習方式，是一種帶有個體印記的經驗化的過

程. 魯墨哈特認為，圖式是對于知識的特有的表征方式. 皮亞杰認為，圖式是一個“有組織的、可重復的行為或思維模式”，兒童在與外部環境“同化”與“順應”相互作用的過程中，建構起具有自身認知結構的知識. 同化是吸收外部信息并合到兒童已有的認知結構（也稱“圖式”）中；順應是原有認知結構無法同化新信息時所引起的兒童認知結構發生重組與改造的過程. 可見，同化是認知結構數量的擴充（圖式擴充），而順應則是認知結構性質的改變（圖式改變）. 兒童就是通過同化與順應這兩種形式來達到與周圍環境的平衡. 因此，我們把學

生的數學學習過程看作是一個圖式化與經驗化的過程，是學生個體的內在知識，通過教師外化的教學方式及教學情感的介入，促使學生內化從而形成知識的儲存、理解、提取、運用等的方式. 數學圖式從數學知識的呈現的形式來看，可以分為概念圖式和原理圖式；從知識的類型來看，可以將圖式分為陳述性知識圖式、程序性知識圖式和策略性知識圖式；從解決數學問題的角度看，可以將圖式分為論證圖式和計算圖式. 從對數學問題認識的角度看，可以將圖式分為情境圖式和反思圖式. 從認知數學的程度看，可以將數學圖式分為表象圖式、符號圖式和言語圖式. 在學科教學中如何理解學習過程是否是圖式化的過程？首先，知識可以被濃縮成框架. 突出重點. 其次，知識可以被提煉成記憶線索和“組塊”，減少閱讀時間，增大儲存和學習空間. 最后，知識可以被重新組合成網絡. 一是當圖式不能適應課文信息時，就要對原有圖式進行調整、改造、補充和修正，使之能夠適應新的需要，順應新的圖式．

（一）從知識的本身看，數學知識是符號化的結果，圖式對符號化過程起到半抽象的作用

數學知識在形成的過程中經過了眾多數學家的研究推定和符號建構，而符號化可以把實際問題轉化為數學問題，建立數學模型，也就是將實際問題中的數量關系及變化規律用符號表達出來. 符號化超越了實際問題的具體情境，揭示和指明了存在于某一類問題中的共性和普遍性，把認識和推理提高到一個更高的水平，這是數學活動和數學思考最本質的東西. 符號可分為推理符號和表象符號. 語言屬推理符號，其他屬表象符號. 經歷數學符號化過程的學生需要濃縮和解釋概念、術語，形成自己的語言圖式；或通過圖表圖式記取、運用的方式發現數學規律，學會數學應用. 比如，認識數“５”，觀察５個蘋果，５支鉛筆，５個人……它們都可以用數“５”來表示，當學生看到數字５，就會和數量是５的具體實物聯系起來，聯想到５所表示的不同含意. 在這個過程中，符號幫助學生建立了數學圖式.

（二）從學習的角度看，知識不能單純的復制粘貼，圖式可以促進主體對知識的有效理解

無論是什么知識，無論通過什么方式向學生傳遞，都需要每名學生個體的內在認知理解和主動建構. 圖式是兼有個性認識特殊的經驗技巧，是個體經驗化的印記過程，當靜態的數學知識成為每個學習個體的知識時，圖式幫助我們濃縮冗長的數學概念語言而留下簡潔的數學語言；比如：由三角形的頂點向對邊所作的垂直線段的長度，叫三角形的高. 語言圖式可以幫助我們簡潔地理解三角形的高就是“頂點到垂足的線段”. 圖式也可幫助我們推導數學圖式，理解數學公式. 比如：三角形的面積計算公式是：三角形的面積 ＝底 × 高 ÷ ２，學生知道了兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形（底和高分別相等），平行四邊形的面積 ＝ 底 × 高，所以三角形的面積要多個“÷２”. 在學生的頭腦中，有了數學公式的圖式，有了“兩個完全一樣的三角形可以拼成平行四邊形”的拼圖，自然就能理解和推導出三角形的面積計算公式，進而建立了用字母圖式表示三角形的面積計算方法的圖式. 對計算中容易丟失的“÷２”的問題也就可以大大減少了，促進了數學的理解.

（三）從教學的角度看，知識不能簡單的傳遞灌輸，圖式可以促進主體產生有意義的經驗建構

波蘭尼有一個非常著名的認識論命題：“我們所認識的多于我們所能告訴的.”從教學的角度看，無論什么樣的教學方式都不能繞過知識這個核心，都需要通過學生個體建構內在的學習圖式. 從某種意義上來說，學生的學習圖式類似于緘默知識隱藏在冰山底部. 不論什么知識，都以一個個的單位儲存在我們的記憶中，認知科學家稱每一個知識的儲存單位為一個圖式. 簡單地說，圖式是信息處理所依據的最基本單位，一個圖式表征一個概念及其所在相關的知識. 數學知識是前人的研究成果，不可避免地帶有經驗的色彩，后人學習的過程，是對靜態的數學知識的個性化理解. 因而教學是動態的數學圖式的建構，促進學生靜態知識的經驗理解和有意義的建構.

二、數學圖式是促進學生把數學知識抽象化、系統化的核心手段

（一）數學圖式的符號化、抽象性特點有利于幫助學生理解數學問題，尋找解題規律

數學圖式指人腦中已經組織好了的數學的整體性信息結構或知識單元，也即是已有數學知識的一種整合. 著名數學教育家斯根普（Ｒ．Ｓ ｋｅ ｍ ｐ）曾指出：理解就意味著被納入（同化）到適當的圖式之中，“意義學習”即“圖式學習”，這說明學習者正確圖式的建構對數學知識的掌握具有十分重要的意義. 現代認知學習理論認為：知識不能簡單地由教師或其他人傳授給學生，應該由每名學生依據自身已有的知識和經驗主動地建構；并通過師生所組成的學習共同體共同完成的.

當面臨一個具體情境時，學生能通過自己的語言進行描述和最終運用符號，將這個關系的規律表達出來. 比如人教版四年級下冊數學廣角的一道練習題，一張餐桌上坐６個人，兩張餐桌并起來坐１４個人……照這樣，１０張桌子并成一排可以坐多少人？如果一共有３８個人，需要并多少張桌子才能坐下？這是一道探索規律的問題，學生在解決這個問題中，經歷由特殊到一般的歸納方法. 先畫圖幫助自己理解：求２張餐桌，３張餐桌可坐多少人？畫符號幫助解決問題；但是餐桌多的時候，就無法再用畫圖來計算了，這需要動腦筋去思考其中的規律.

只有發現了這一規律，并用符號圖式表示出來，才能很快計算出擺放任意張餐桌可坐幾人？在解題過程中，學生運用符號圖式和言語圖式理解數學問題，把具體的問題情境抽象化，尋找解題規律.

（二）數學圖式的網點化、結構化特點有利于幫助學生溝通數學聯系，形成系統知識

由于數學知識是高度結構化的，因此，選用數學圖式把握和分析數學知識有利于形成數學學科結構、單元或主題結構，讓學生“見樹木，更見森林”，“見森林，才見樹木”. 數學圖式把數學知識串點成線，織線成網、溝通知識間的聯系，突出數學知識的系統性，彰顯重點難點，梳理邏輯順序. 從這點上來說，數學圖式無疑為學生科學地學習數學知識提供了一條有效的路徑. 通過建構學生自己的數學圖式，學生可以得到簡約的、結構化的數學知識. 因而數學圖式的建構有利于學生系統掌握知識，有利于學生把知識加工成有聯系的網狀結構，從而促進學生頭腦中的數學圖式的形成和發展，培養學生思維的整體性和敏捷性，優化學生的思維方式. 列表法、圖解法（符號化）、綱帶目法、樹型圖、集合圖等都有利于形成學生系統的數學學習圖式. 例如：小學數學中數的分類可以用集合圖式、樹型圖式，也可以用下列圖式促進學生的數學學習.

整數自然數……分數（百分數）真分數假分數—帶分數小數有限小數無限小數循環小數不循環小數

（三）數學圖式的形式化、層級化特點有利于幫助學生建立數學概念，理解數學規律

小學數學很多是具有形式規則的，并經常以公式的形式來表達，如ａ ＋ ｂ ＝ ｂ ＋ ａ，ｓ ＝ ａｈ等. 理解數學形式，有利于理解數學內容，是提升數學理解的有效途徑. 斯法德（ｓｆａｒｄ）曾強調：數學概念與實體的結構和運算間的互補性具有極強的教育價值. 對數學概念結構的理解是有效運用數學概念進行運算的前提條件. 低水平的具體化與高水平的內化是互為前提的，在數學學習過程中，有些學生將代數術語僅視為符號. 如（ａ ＋ ｂ） × ｃ ＝ ａ × ｃ ＋ ｂ × ｃ，很多學生在運用乘法分配律進行運算時，并沒有對這種數學形式實現內容的具體化. 數學結構比數學運算更難以理解. 需要通過恰當的數學活動來實現具體化，表象圖式就是實現具體化的有效途徑. 要發展學生對數學形式的理解，為符號感的培養提供契機，就要讓學生掌握數學形式的運算和結構.

數學知識由多個知識點構成，一般以解決問題的形式被學生體驗和領悟，并以解決問題的形式反饋學生的掌握狀況，反映每一個知識點的相應問題，稱為知識點的基本題型，涉及多個知識的問題構成了綜合題. 圖式復習，將每個知識點復習按四個項目進行整理，第一項是“知識點”（可以是一課、一章節、一個專項等的知識）；第二項是“基本題型”（與知識點相應典型例題）；第三項是典型綜合題（和知識點有關的綜合題）；第四項是易錯題（相應知識點題目中的典型錯誤）.

數學圖式的層級化集中表現在動作圖式、表象圖式、思維圖式. 動作圖式是依靠動作表征數量關系及語義的；表象圖式是動作圖式內化的結果；思維圖式是利用符號理解語義，進行解題的. 教師應該視學習為一個圖式獲得和完善的過程，而不是機械地獲得獨立事實的過程. 教師應該關注圖式建構的策略. 教師應該意識到，學生有時可能只選擇經驗或課堂所學的一小部分加以識記，也可能會曲解所識記的知識，教師應該有針對性地干預. 當學生能夠將新知識納入已有的圖式或通過對已有圖式的修改創建新的圖式時，學習就是有意義的. 為了提高層級的加工水平，呈現數學問題前應喚起學生恰當的數學圖式，通過歸納圖式有效地促進知識遷移，真正實現教和學的融通意義.