淺談高考數(shù)學(xué)分類討論思想的應(yīng)用

根據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象在不同條件下的異同特征，將其劃分為不同種類分別加以解決，最后綜合得出整個(gè)問(wèn)題的結(jié)論，這種方法為分類討論的數(shù)學(xué)思想。分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它在高考中占有十分重要的地位，分類討論試題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性的特點(diǎn)，試題難度屬中高檔。分類討論問(wèn)題不僅是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，也是高考的難點(diǎn)。解決這類題目的關(guān)鍵是找到分類的動(dòng)機(jī)，即為什么分類，分類的對(duì)策如何，即怎樣分類?，F(xiàn)就近幾年高考中分類討論思想應(yīng)用的熱點(diǎn)，談?wù)勛约旱慕忸}看法：

熱點(diǎn)一：由參數(shù)變化引起的分類

例1解不等式(a為常數(shù)，a≠－ )

【分析】 含參數(shù)的不等式，參數(shù)a決定了2a＋1的符號(hào)和兩根－4a、6a的大小，故對(duì)參數(shù)a分四種情況a>0、a＝0、－

【解】 2a＋1>0時(shí)，a>－ ；－4a<6a時(shí)，a>0 。 所以分以下四種情況討論：

當(dāng)a>0時(shí)，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；

當(dāng)a＝0時(shí)，x2>0，解得：x≠0；

當(dāng)－0，解得: x<6a或x>－4a；

當(dāng)a>－時(shí)，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a

綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，x<－4a或x>6a；當(dāng)a＝0時(shí)，x≠0；當(dāng)－ －4a；當(dāng)a>－時(shí)，6a

本題的關(guān)鍵是確定對(duì)參數(shù)a分四種情況進(jìn)行討論，做到不重不漏。一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問(wèn)題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對(duì)結(jié)果的影響而進(jìn)行分類討論，此種題型為含參型。

熱點(diǎn)二：由數(shù)學(xué)概念（運(yùn)算）引起的分類

例2. 設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是前n項(xiàng)和。① 證明：② 是否存在常數(shù)c>0，使得

成立？并證明結(jié)論。(95年全國(guó)理)

【分析】 要證的不等式和討論的等式可以進(jìn)行等價(jià)變形；再應(yīng)用比較法而求解。其中在應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式時(shí)，由于公式的要求，分q＝1和q≠1兩種情況。

【解】 設(shè){an}的公比q，則a1>0，q>0

① 當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1，從而SnSn+2－Sn+12＝na1(n＋2)a1－(n＋1)2a12＝－a12<0；

當(dāng)q≠1時(shí)，從而

由上可得SnSn+2

即 。

② 要使 成立，則必有(Sn－c)(Sn+2－c)＝(Sn+1－c)2，

分兩種情況討論如下：

當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1，則

(Sn－c)(Sn+2－c)－(Sn+1－c)2＝(na1－c)2[(n＋2)a1－c]－[(n＋1)a1－c]2＝－a12<0

當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝，則(Sn－c)(Sn+2－c)－(Sn+1－c)2＝

＝－a1qn[a1－c(1－q)]

∵a1qn≠0∴a1－c(1－q)＝0即

而∴對(duì)數(shù)式無(wú)意義

由上綜述，不存在常數(shù)c>0， 使得

＝lg（Sn+1－c）成立。

本例由所用公式的適用范圍而導(dǎo)致分類討論。該題文科考生改問(wèn)題為：證明 ，和理科第一問(wèn)類似，只是所利用的是底數(shù)是0.5時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減。

熱點(diǎn)三：由圖形位置變化引起的分類

例3. 設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，對(duì)于滿足10，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

【分析】 含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、最小值等值域問(wèn)題，需要先對(duì)開(kāi)口方向討論，再對(duì)其拋物線對(duì)稱軸的位置與閉區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，最后綜合得解。

當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－2x＋2， f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合題意

由上而得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a> 。

本題分兩級(jí)討論，先對(duì)決定開(kāi)口方向的二次項(xiàng)系數(shù)a分a>0、a<0、a＝0三種情況，再每種情況結(jié)合二次函數(shù)的圖像，在a>0時(shí)將對(duì)稱軸與閉區(qū)間的關(guān)系分三種，即在閉區(qū)間左邊、右邊、中間。本題的解答，關(guān)鍵是分析符合條件的二次函數(shù)的圖像，也可以看成是“數(shù)形結(jié)合法”的運(yùn)用。

總之，分類討論的數(shù)學(xué)思想是一種化整為零各個(gè)擊破的解題策略，解決這類題目，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒(méi)有重復(fù)）；再對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。

（作者單位：甘肅省民勤縣第三中學(xué)）