交比在初等幾何中的應用

【基金項目】2010年江蘇省高等學校大學生實踐創新訓練計劃項目(編號：1026).

高等幾何是用Klein的變換群觀點來揭示和指導幾何學的，在此觀點下把歐氏幾何看成射影幾何的子幾何，它對初等幾何具有重要的指導作用，為我們解決初等幾何問題提供了一些思想方法.某些在初等幾何中不易解釋清楚的問題，如果把它放到高等幾何的平臺上來思考，就能給出清楚的解答.如立體幾何直觀圖的畫法、截面圖的作法分別是以透視仿射對應性質及笛沙格定理的理論為依據的.運用高等幾何知識來解決初等幾何中的問題，能在更高層面上認識幾何學的基本特性、研究方法與內在聯系，從而更深入地認識幾何學的本質.

高等幾何的主要內容是射影幾何，交比是射影幾何的基本不變量，在射影幾何的研究中具有十分重要的作用.本文主要探討如何運用交比的有關概念和性質來解決初等幾何中的一些問題.這樣不僅降低了解決問題的難度，證明思路清晰，過程簡潔，而且拓寬了我們的視野，有助于我們站在新的高度上深入地理解初等幾何的知識.

一、交比的有關概念和性質

共線四點的交比的初等表示:在歐氏平面上，設P1，P2，P3，P4是共線的相異四點，則(P1P2，P3P4)=P1P3#8226;P2P4P2P3#8226;P1P4，其中PiPj表示Pi到Pj的有向距離（i，j=1，2，3，4）.

共點四直線交比的初等表示:在歐氏平面上，設p1，p2，p3，p4是共點的相異四直線，則(p1p2，p3p4)=sin(p1p3)sin(p2p4)sin(p2p3)sin(p1p4)，其中(pipj)表示由pi到pj的有向角（i，j=1，2，3，4）.

交比的性質:設P1，P2，P3，P4是共線的相異四點，則

(1)(P1P2，P3P4)=(P3P4，P1P2)；

(2)(P2P1，P3P4)=(P1P2，P4P3)=1(P1P2，P3P4)；

(3)(P2P1，P4P3)=(P1P2，P3P4)；

(4)(P1P3，P2P4)=(P4P2，P3P1)=1-(P1P2，P3P4).

定理1 若一線束中的四直線被任意一直線所截，則所截得的四點的交比等于其四直線的交比.

定理2 若兩直線截同一線束，則所截得的對應四點的交比相等.

定理3 若兩線束對應直線的交點在一條直線上，對應四直線的交比相等.

定理4 若兩組交比相等的共線四點中有一對對應點重合，則其他三對對應點的連線交于一點.

二、交比在初等幾何中的應用舉例

運用上述交比的性質可以比較簡潔地證明一些初等幾何問題，下面主要從證明線段相等和點線結合性命題兩方面舉例說明.

圖 1

(一)證明線段相等

例1 （蝴蝶定理）如圖1，過圓的弦AB的中點C引任意其他兩弦DE，FG，連接DG，EF分別交AB于P，Q，求證：PC=CQ.

證明 連接DA，DB，FA，FB.直線AB分別截以D，F為中心的線束，根據定理１，得

(DA#8226;DG，DE#8226;DB)=(AP，CB)，

(FA#8226;FG，FE#8226;FB)=(AC，QB).

(DA#8226;DG，DE#8226;DB)=sin∠ADE#8226;sin∠GDBsin∠GDE#8226;sin∠ADB=sin∠AFE#8226;sin∠GFBsin∠GFE#8226;sin∠AFB=(FA#8226;FG，FE#8226;FB).

所以(AP，CB)=(AC，QB).

由共線四點的交比的初等表示，得AC#8226;PBPC#8226;AB=AQ#8226;CBCQ#8226;AB.

因為AC=CB，則得PBPC=AQCQ.

由此變形為PC+CBPC=AC+CQCQ，即CBPC=ACCQ，所以PC=CQ.

(二)點線結合性命題

例2 在四邊形ABCD的AD和BC兩邊或其延長線上各取一點E和F，使AE∶BF＝AD∶BC，求證：AF與BE的交點在一條直線上.

圖 2

證明 如圖2，設E1，F1與E2，F2是任意兩組相異且符合條件的點.則AE1BF1=ADBC，即ADAE1=BCBF1.

所以AE1DE1=BF1CF1，

同理可得AE2DE2=BF2CF2.

于是有(AD，E1E2)=AE1#8226;DE2DE1#8226;AE2=BF1#8226;CF2CF1#8226;BF2=(BC，F1F2).

設AC與BD交于G，AF1與BE1交于H1，連接GH1交AB于P，連接BE1交GH1于H2，連接AH2交BC的延長線于F′2，則由定理２，得(AD，E1E2)=(PG，H1H2)=(BA#8226;BD，BE1#8226;BE2)，(BC，F1F′2)=(PG，H1H2)=(AB#8226;AC，AF1#8226;AF′2)，所以(AD，E1E2)=(BC，F1F′2)，(AD，E1E2)=BC，F1F2).因此F′2≡F2，即AF2與BE2交于H2.由P，G，H1，H2共線可知AF與BE的交點在一條定直線PG上.

【參考文獻】

［1］梅向明，等.高等幾何.北京:高等教育出版社，2000.

［2］劉增賢，等.高等幾何學習指導書.北京:高等教育出版社，1989.

［3］周興和.高等幾何.北京:科學出版社，2003.