自主合作學習在數學教學上的應用探索

教材分析：選自蘇教版《數學》八年級第十一章《圖形與證明（一）》第三節《證明》第三課時，基于自主合作學習教學的模式進行設計.

本節內容是在前兩節課學生初步體驗了數學證明的思路，并從基本事實出發證明得到了有關平行線的定理的基礎上，指導學生進一步學會運用基本事實證明三角形內角和定理和推論.

學生分析：在小學階段學生已嘗試用拼圖的方法得出“三角形三個內角和等于180°”，七年級第二學期學生已嘗試用說理的方式說明過“三角形三個內角和等于180°”的成立.因此本節課的重點是在前面的基礎上引導學生打開邏輯思維的閘門，理解添加輔助線的必要，學會采用不同的策略解決問題.讓學生感受數學的嚴謹性和結論的確定性，初步養成言之有理、落筆有據的推理習慣，發展有條理的思考和表達自己想法的能力.

教學案例

一、課前準備

要求：獨立思考，自己探究.

1.三角形的內角和為度.

2.如何證明這個結論？

3.如圖1，這種拼圖操作對我們思考證明的途徑有什么啟發？

圖 1

4、過程展示

已知：

求證：

證明：

5.你還有什么不同的證明方法嗎？（畫出示意圖，列出思路.）

二、教學片段

片段一：

師：前面兩節課我們初步體驗了數學證明的思路，并從基本事實出發證明得到了有關平行線的定理等.這節課我們繼續用基本事實來證明三角形中有關結論.

師：首先，回憶一下，三角形三個內角的和是多少？

生：180°.

師：你是如何知道的？如何證明這個結論？請小組內交流一下剛才課前準備的證明方法.

生：小組交流課前準備內容.

師：請各個小組選兩名同學代表本組把此題具有代表性的思路過程板演到黑板上.

生：每組兩名同學合作板演，其他同學繼續研究其他解法.

師生：共同研究各組展示情況，展示小組講解本組解題思路和解題要點，其他小組質疑過程的規范.

全班6個小組一共展示出四種解法（如下），其中有兩組用的是方法1，還有兩組用的是方法2，方法3和方法4為另兩組展示.

方法1 如圖2，作BC的延長線CE，過點C作CD∥AB.

圖 2

圖 3

方法2 如圖3，過點A作EF∥BC.

方法3 如圖4，過點A作AD∥BC.

圖 4

圖 5

方法4 如圖5，在BC上取一點D，分別過D作DE∥AC交AB于E，作DF∥AB交AC于F.

片段二：

師：從剛才眾多的解法看出，同學們通過添加適當的輔助線解決了三角形內角和是180°的證明，你們是怎么想到添加這些輔助線的呢？

生：從拼圖操作我們發現要把三角形三個分散的角相對集中到一起.

生：從結論要證180°，我們想到平角等于180°.

生：還有兩直線平行，同旁內角互補.

師：“兩直線平行，同旁內角互補”的證明就是轉化成平角來證的.

師：這么多種添加輔助線的方法，你最喜歡哪一種？說說你的理由.

生：方法2，因為寫過程比較方便.

師：這么多種添加輔助線的方法，它們在作法上有沒有共同點呢？

生：過三角形的一頂點作對邊的平行線.

師：我們看方法4，這里是過三角形一邊上一點作的另兩邊的平行線，如果這個點不在三角形邊上，在三角形內部，我們能否通過作邊的平行線來證明呢？

（學生思考）

生：可以的，過三角形內一點作三邊的平行線，可以把三個內角轉化成一個平角得證.

師：如果這個點在三角形外部呢?

生：和點在三角形內部方法一樣.

師：總結一下，三角形內角和等于180°的證明思路是什么？

生：過平面內任一點作邊的平行線，把三角形三個內角轉化成平角.

師：通過證明，我們確認了命題“三角形三個內角的和等于180°”是真命題，我們把這個命題稱作三角形內角和定理.

課后反思：

1.數學課堂上自主與合作活動的意義在哪里

根據本節課內容的特點，我做了教學片段一的探索.首先，基于本節課內容“三角形三個內角和等于180°”的結論學生前面有所接觸，已經掌握，而本節課的重點是這個命題的證明，所以在設計時一開始就直接讓學生根據學案進行自主預習，獨立思考.我們知道沒有充分的獨立思考，學生的合作交流就只能流于形式，變成少數思維敏捷的同學表演.從本節課的實際操作來看，教者給足了學生思維的時間和空間，學生在自主、獨立的情況下，基本上每個人都找到了命題的一種證法.其次，在獨立思考的基礎上，我又給出時間讓學生在小組內交流各自的思路，并在小組討論的基礎上，選出本組具有典型意義的思路板演到黑板上與其他小組分享.在小組交流合作中，我觀察到每名同學都能迅速領會別的同學的思路，而且在小組展示質疑中都能迅速切中要害，指出展示中存在的問題.我認為這就是自主合作學習帶來的效果.

2.數學課堂上怎樣開展學生的自主合作活動

當教者提出的問題具有較高的思維價值，學生獨立思考仍難以解答或當某題一題多解、一題多變時，學生的合作交流就顯得非常重要.需要注意的是交流合作之前必須給出學生獨立思考的時間，讓每名學生都在獨立的思考前提下再去合作交流.只有這樣合作交流才能加大學生的思維容量，拓寬視野，并有助于學生檢視自己的思路，形成良好的反思習慣.本節課的交流分了兩個層次，首先在小組內交流，小組交流的目的是盡可能讓每名學生都有機會發表自己的看法；其次以組為單位在全班進行了交流，主要是想培養組與組的競爭意識，提高合作的作用.從本節課各組展示的證明思路可以看出自主合作后達到的效果，給我印象最深的是有一組不僅完整地寫出了一種證明過程，而且在旁邊畫圖列出了多種解題思路，這絕對是集體的思維結晶.

3.數學課堂中的自主與合作，不能是為了課堂改革而有意設計的課堂表演

數學教學是思維的教學，數學活動是思維的活動.數學課堂中的自主與合作其主要目的是為了更好地發展學生的思維能力.有了學生的獨立思考，再有小組間的合作交流，通過交流，全體學生互相啟發，互相借鑒，互相學習，才能達到發展學生的思維能力的目的.

4.學生自主合作學習后還必須有老師的概括提升才能事半功倍

在本節課的教學片段二中，教者通過對話交流首先讓學生在多種方法中選擇較為簡單合理的方法，這里是體現一題多解時的最優化原則；其次引導學生發現可以把他們的多種解法轉化歸納為一種，體現數學結論的發現往往經歷從特殊到一般的歷程.片段二是學生合作交流后老師的概括提升，這一過程是非常必要的.學生在合作交流中展現出多種思路，這體現了思維的發散性，如果沒有這些概括提升那學生的思維成果仍舊是一盤散沙，無助于良好思維習慣的養成，也就失去了合作交流的根本意義.