淺談定積分在幾何應用中的思想統一性

【摘要】本文以平面圖形的面積、旋轉體的體積、平面曲線的弧長說明其求法的思想統一性.

【關鍵詞】定積分；幾何應用；思想統一性

定積分的應用是《高等數學》中理論和實際結合的一個典范，學生對此也是很感興趣，但是學起來感覺有點吃力，下面介紹一種思想望對讀者有所幫助.

一、平面圖形的面積

1.當f(x)≥0時，由f(x)，x=a，x=b(a

（1）分割：把曲邊梯形分成n個小的曲邊梯形.

（2）近似代替：每個小曲邊梯形的面積近似用小矩形的面積代替ΔAi≈f(ξ1)Δxi.

（3）求和：A=∑ni=1ΔAi≈∑ni=1f(ξi)Δxi.

（4）取極限：A=limλ→0∑ni=1f(ξi)Δxi，λ=max{|x0x1|，|x1x2|，…，|xn-1xn|}.

按定積分的定義A=∫baf(x)dx，應用這種思想同理可以得到.

2.當f(x)<0時，由f(x)，x=a，x=b(a

3.當f(x)既有大于0也有小于0時，由f(x)，x=a，x=b(a

平面圖形的面積與定積分的不同：

（1）面積是一個非負數，而定積分有正有負，定積分的上限比下限大，被積函數非負，才能保證定積分非負.即求平面圖形的面積利用定積分計算時，一般情況下，被積函數要取絕對值，且積分下限小于積分上限.而在計算定積分的時候，通過積分區間的可加性去掉絕對值.

(2)面積與面積的代數和不同，面積的代數和指x軸上方的面積取正，x軸下方的面積取負.

(3)由上述1，2可以推出3，反之由3可以得到1，2.

（4）選取積分變量是x還是y，要看所構成的圖形屬于X-型還是Y-型.

X-型是指用平行于y軸的直線穿過圖形時，與邊界曲線最多有兩個交點.（如上述1，2，3）

Y-型是指用平行于x軸的直線穿過圖形時，與邊界曲線最多有兩個交點.

二、旋轉體的體積

旋轉體：平面圖形繞一直線旋轉一周所形成的立體，是一種特殊的立體，它的每一個橫截面都是圓面，因此旋轉體體積的計算可按求曲邊梯形的面積的方法，即：（1）分割；（2）近似代替；（3）求和；（4）取極限.

現以由f(x)≥0，x=a，x=b(a

（1）分割：把旋轉體沿橫截面分成n個小的旋轉體.

（2）近似代替：每個小旋轉體的體積近似用小圓柱體的體積代替：ΔVi≈πf2(x)Δxi.

（3）求和：V=∑ni=1ΔVi≈∑ni=1πf2(x)Δxi.

（4）取極限：V=limλ→0∑ni=1πf2(x)Δxi，λ=max{|x0x1|，|x1x2|，…，|xn-1xn|}.

按定積分的定義V=limλ→0∑ni=1πf2(x)Δxi=∫baπf2(x)dx.

若此平面圖形繞y軸旋轉一周，得到的旋轉體是空心的圓柱體，此旋轉體的體積也可按此方法：

（1）分割：將旋轉體分成n個小的空心圓柱體.

（2）近似代替：每個小空心圓柱體展開正好是一長方體，故小空心圓柱體的體積可以用長方體的體積近似代替，ΔVi≈2πxf(x)Δx.

(3)求和：V=∑ni=1Δxi≈∑ni=12πxf(x)Δx.

(4)取極限：V=limλ→0∑ni=12πxf(x)Δxi，λ=max{|x0x1|，|x1x2|，…，|xn-1xn|}.

按定積分的定義V=limλ→0∑ni=12πxf(x)Δx=∫ba2πxf(x)dx.

同理，由x=φ(y)，y=c，y=d(c

繞x軸旋轉一周所形成的旋轉體：V=∫dc2πyφ(y)dy.

實際上求旋轉體的體積都可歸結為上述幾種情況.

三、平面曲線的弧長

（1）分割：將曲線AB分成n段小弧.

（2）近似代替：每段小弧近似用直線段近似表示.

Δsi≈(Δx)2+(Δy)2=(dx)2+(dy)2.

(3)求和：s=∑ni=1Δsi≈∑ni=1(dx)2+(dy)2.

(4)取極限：s=limλ→0∑ni=1(dx)2+(dy)2=limλ→0∑ni=11+(y′)2dx，λ=max{|x0x1|，|x1x2|，…，|xn-1xn|}.

按定積分的定義s=limλ→0∑ni=12πxf(x)Δx=∫ba1+(y′)2dx.若曲線為參數方程，極坐標表示時都可由上式推出.

總之，掌握了以上思想之后，抓住了本質，對于定積分在其幾何上的應用都可用此種思想推導出去，另外也不用去死記，從幾何上就很容易掌握其中的思想，化抽象為形象、直觀，對于這部分內容的掌握應該有很大幫助.

【參考文獻】

［1］西北工業大學數學教研室.高等數學典型題目與問題分析.上海：同濟大學出版社.

［2］吳贛昌.高等數學（上冊）.北京：中國人民大學出版社，2008.

［3］廉玉忠.高等數學（上冊）.上海：同濟大學出版社，2008.