用數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)學(xué)問題

所謂數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果.數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識；基本數(shù)學(xué)思想則是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛的數(shù)學(xué)思想.它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，是解決問題的主要手段和理論基礎(chǔ).

1.函數(shù)思想

把某一數(shù)學(xué)問題用函數(shù)表示出來，并且利用函數(shù)探究這個問題的一般規(guī)律，從而解決數(shù)學(xué)問題，這是最基本、最常用的數(shù)學(xué)方法.

例如（2004年吉林省中考試卷第24題），如圖，已知一拋物線形大門，其地面寬度AB=18 m.一同學(xué)站在門內(nèi)，在離門腳B點1 m遠(yuǎn)的D處，垂直地面立起一根1.7 m的木桿，其頂端恰好定在拋物線門上C處，根據(jù)這些條件，請你求出該大門的高度h.此題應(yīng)恰當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，求出曲線所表示的二次函數(shù)，使問題得到解決.

2.數(shù)形結(jié)合思想

把代數(shù)和幾何相結(jié)合，例如對幾何問題用代數(shù)方法解答，對代數(shù)問題用幾何方法解答，這種方法在解析幾何里最常用.

例如，（1）若有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點位置如圖，則下列結(jié)論錯誤的是().

（2）求1+12+122+…+12n的值.可借助圖形求出結(jié)果1-12n.

3.分類討論思想

當(dāng)一個問題因為某種量的情況不同而有可能引起問題的結(jié)果不同時，需要對這個量的各種情況進行分類討論.比如，（1）化簡|a-1|＋|a+1|的時候，就要討論a的取值情況.（2）列方程解應(yīng)用題：課外植物小組準(zhǔn)備利用學(xué)校倉庫的一塊空地，開辟一個面積為130 m2的矩形花圃（如圖所示），打算一面利用長為a m的倉庫墻壁，三面利用長為33 m的舊圍欄.（1）求花圃的長和寬.（2）說明墻長a m的作用.

4.方程思想

當(dāng)一個問題可能與某個方程建立關(guān)聯(lián)時，可以構(gòu)造方程并對方程的性質(zhì)進行研究以解決這個問題.

例如，（1）已知x+y=8，xy=z2+16，求證：x=y.（2）某自來水公司計劃鋪設(shè)155 m長的管道，現(xiàn)庫存只有5 m和8 m的水管足量.問：保管員有幾種付貨方案？（接頭的長度忽略不計）設(shè)需5 m長和8 m長的水管各x，y根，根據(jù)題意，得5x+8y=155，有4組非負(fù)整數(shù)解.所以有4種付貨方案.

5.歸納類比思想

利用歸納類比思想可以對某種相類似的問題進行研究而得出它們的共同點，從而得出解決這些問題的一般方法.

（1）分式的四則運算法則可以和分?jǐn)?shù)的運算法則類比得到.

（2）在同一平面內(nèi)，n條直線相交，最多有多少個交點？

在同一平面內(nèi)，兩條直線相交有1個交點，三條直線最多有3＝1＋2(個)交點，四條直線相交最多有6＝1＋2＋3(個)交點，那么n條直線最多有1+2+3+…+(n-1)(個)交點，類比1＋2＋3＋…＋100的計算方法100(1+100)2=5050，可得其結(jié)果為n(n-1)2.

6.轉(zhuǎn)化歸納思想

轉(zhuǎn)化歸納思想是把一個較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為另一個較簡單的問題并且對其方法進行歸納.

例如，（1）當(dāng)x分別取值12007，12006，12005，…，12，1，2，…，2005，2006，2007時，計算代數(shù)式1-x21+x2的值，將所得的結(jié)果相加，其和等于().

答案 C.

解 因為1-1n21+1n2+1-n21+n2=n2-1n2+1+1-n21+n2=0，即當(dāng)x分別取值1n，n(n為正整數(shù)）時，計算所得的代數(shù)式的值之和為0；而當(dāng)x=1時，1-121+12=0.因此選C.

（2）比較大小：3+2632+23.（填“＝”“＜”或“＞”）

轉(zhuǎn)化為比較(3+26)2與(32+23)2的大小，從而使問題得到解決.

7.概率統(tǒng)計思想

概率統(tǒng)計思想是指通過概率統(tǒng)計解決一些實際問題，如摸獎的中獎率、某次考試的綜合分析等.例如，10張完全一樣的卡片，其上的數(shù)分別是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，洗勻后隨機抽取2張卡片，將其卡片上的數(shù)做加法，和是偶數(shù)的概率是.

另外，數(shù)學(xué)思想是用來指導(dǎo)方法的，數(shù)學(xué)思想方法通常分成三個層次.數(shù)學(xué)思想：如函數(shù)思想、方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類思想、數(shù)形結(jié)合思想等；邏輯方法：如歸納法、演繹法、類比法、分析法、綜合法、反證法等；具體的數(shù)學(xué)方法：如配方法、換元法、待定系數(shù)法等.掌握了數(shù)學(xué)思想和方法，對從事教育、教學(xué)、數(shù)學(xué)研究是大有益處的，堅信會有更多的有識之士掌握和運用數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)揮它應(yīng)有的作用.