數學教學中因材施教的新視角

【摘要】對學習者個性差異的研究是因材施教的出發點.學習者的認知結構差異是個性差異中的一種，他們或偏向特征性思維，或者擅長功能性思維.特征性思維者在認知上主要看到的是構成問題的特點與形狀，功能性思維者在認知上主要看到的是構成問題的眾要素的功能.根據認知結構差異理論，數學教學內容呈現方式要多樣化，用多元表征代替單一表征、靜態圖式表征和動態圖式表征相配合、代數表征和幾何表征相結合等方式，才能使個體的內在認知結構與外在表征產生共鳴效應，讓學生特有的思維方式得到充分的發揮，從而取得最佳的學習效果，進而才能在數學教學中真正實現因材施教.

【關鍵詞】因材施教；特征性思維；功能性思維；表征

1.問題的提出

“因材施教”的教育思想最早由我國教育家孔子提出.“材”，指的就是個性差異.“因材”，指的是對學生個體差異的問診.“施教”，是在問診基礎上所采取的、適合不同學生特點的教育教學措施.然而在教學實踐中，教師往往只要求學對教的適應，而忽視教對學的適應.貫徹因材施教的教學原則，要把每一個學習者視為獨一無二的、變化的個體，即根據學生的智力、基礎、成就動機及其相應的個性特征、認知結構等差異而提出不同的要求，采取不同的教學方式以適應學生的個性差異，最終達到預定的教學目標.對學習者個性差異的研究是因材施教的出發點，認知結構差異是個性差異中的一種.文章從認知結構差異理論這一新的視角來探討數學教學中因材施教的問題.

2.認知結構差異理論概述

個體在環境中總是借助自己特有的認知定向取得成績.對此德國施萬克（Schwank，1986）提出了特征性和功能性認知結構理論，此理論的結構見圖1所示.

外在給出的問題

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借助優先被激活的認知結構進行認知上的領會

特征性思維

基于關系的思維：結構/概念就是各種不同（數學）對象之間的特征/關系.

一種內在的有關靜態領會的概念表征.

功能性思維

基于作用原理的思維：結構/概念就是各種不同（數學）對象的功能，或是這些對象的運演.

一種內在的有關動態領會的概念表征.

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圖1 特征性與功能性認知結構圖

施萬克指出：“不同的人在表現其認知結構時有著不同的偏愛.那些偏愛特征性認知結構的人，在問題情境中進行活動時優先表述活動對象間的靜態關系，分析問題時把重點放在事物的結構及其描述上；他們在說明所實施的行動時，總是優先描述行動的實施和結果之間的關系；他們更善于去感受事物的精確性，對復雜過程的感覺和分析能力卻比較弱.那些偏愛功能性認知結構的人，很少直接分析事物間的關系和事物的結構，而是對過程有著清晰的感受能力，善于對作用原理進行思考；他們很少能清晰、精確地去表達事物間的關系.”

圖2 表象圖片

下面舉一例來說明兩類認知結構的差異：

出示如圖2所示的圖片，描述該圖片.

典型的特征性者的描述：

A：一個孩子用兩只手抓住圖片上右邊的那棵樹的樹枝，樹枝遠離小池塘，在池塘邊上有一條翹著尾巴、頭朝孩子、張著大嘴的鱷魚，背后有一些小棕櫚樹.

典型的功能性者的描述：

B：水里的鱷魚在追逐一個孩子，想吞吃那個孩子，所以那個孩子快速爬上這棵樹.

A的描述，呈現的是圖片的靜態結構，著眼點放在了圖片的物體的特征上（如“翹著尾巴的”），重在尋找圖片上的一個個物體（如“圖片上右邊的那棵樹”）.B的描述，讓我們感覺到某個“電影片段”所講述的故事，注意力則在動態行動上（如“追逐”、“爬上”）以及因果關系上（如“所以”）.

由此可見，認知結構差異“不在于事件的差異”，而在于由這些事件所引起的個人表象的差異.特征性和功能性思維者在解決相同問題時建構不同的內在表征，相應地就應用不同的認知工具.從理論上看，對于提出相同的問題，個體應用不同的認知定向，以不同的解決方式去解決問題.如果外在表征適合其中的一種認知結構，這個外在表征與人的認知結構會產生共鳴，使問題解決達到最佳狀態.

3.啟示與思考

根據認知結構差異理論，在數學教學中要重視對問題表征方式的研究.向學生提供不同的問題表征形式，這有助于學生在數學學習中選擇適合自己內在認知結構的外在表征方式進行學習，從而使個體的內在認知結構與外在表征產生共鳴效應，使學生特有的思維方式得到充分的發揮.

目前的課程和教學的理論與實踐忽視學生思維發展的特點，采用的是單一的表征方式呈現數學知識，這必然會抑制部分不適應這種方式的學生的思維發展；另外教材上概念與問題的表述過分單一，無法激起學生主動使用自己最佳的認知工具.若只是按照教材上規定的一種表征方式進行了學習，這有可能導致某些學生不能較好地理解知識.因此，在數學教學中，教師要利用表征和圖式理論，使數學知識的呈現方式多樣化，從而便于學生選用適合自己思維方式的外在表征形式，來建構自己的數學認知結構，使學習達到最佳狀態，從而才能在數學教學中真正實現因材施教.

對特征性認知結構來說，關系（特征）是主要的構成結構的零件.當特征性思維者討論行動時，會通過行動前與行動后兩個狀態間的關系來描述行動.他們所偏愛的外在表征方式是：以文字、符號、圖表、具體物等形式存在的靜態表征.對功能性思維者來說，他們對所擁有的作用機制感興趣，當其說明某些關系時，能夠建立一種動態的“作用—原因”關系，會通過考察形成關系的過程來說明那些關系.他們所偏愛的外在表征方式是：以語言、流程圖、圖像、活動或實際情境等形式存在的動態表征.根據學生認知結構有特征性和功能性的差異性，在數學教學中，可以通過提供觸覺表征（如動手操作、實驗等）、聽覺表征（如教學的言語）和視覺表征（如書面語、課件動畫等）等多元表征代替單一的表征，讓學生選擇適合的表征形式來學習和理解數學概念.

在感覺系統中，功能性思維者對動態圖像標記表征的信息有特殊的偏愛，因為這類圖像標記表示了動態事件（系列運動、狀態變化等），相反特征性思維者對一幅幅展示圖像、狀態、特征與物體之間的關系有特別的興趣，因此容易激活他們的靜態的圖像標記.在數學教學中，針對不同認知結構思維者，提供不同的圖式表征，如靜態的表格式表征和動態的流程圖式表征，或重在對靜態的數量關系表示的代數表征和重在對動態的圖像變化表示的幾何表征，讓學生選擇自己喜好的、適宜的表征方式，使其認知結構取向與外在問題表征形式產生共鳴，有助于學生對問題理解的準確性和深刻性.

【參考文獻】

［1］徐斌艷.學生算法概念建構中的認知結構研究［M］.上海:華東師范大學出版社，2003（9-10）：35，144.

［2］Schwank I.Cognitive Structures of Algorithmic Thinking ［A］. In: Proceedings of the Tenth International Conference for the Psychology of Mathematics Education. London: University of London， Institute of Education，1986:195-200.

［3］徐斌艷.數學教育中個性差異實驗研究［J］.數學教育學報，2002，11（3）：79，83.

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