幾類常見求參問題解法探究

【摘要】求參范圍是高考數學常見題型，涉及知識點多，解法靈活，方法多樣，難度較大.本文僅就不等式、方程、函數等常見的含參問題闡述之.

【關鍵詞】不等式；方程；函數；參數范圍

求參數取值范圍的問題，常見諸各類高考復習卷中，主要分布于不等式、方程、函數等類型題中，解法靈活，方法多樣，難度較大，現將幾類常見求參問題歸納如下：

一、含參不等式中參數的取值范圍

1.利用“a>f(x)有解a>［f(x)］min或a

例1 不等式ax2+a-2<0有解，求a的取值范圍.

解 ∵ax2+a-2<0有解，

∴a(x2+1)<2有解，

∴a<1x2+1有解，

∴a<2x2+1max.

而2x2+1max=2，

∴a<2，即a∈(-∞，2).

點評 問題轉化為“a

2.利用“a>f(x)恒成立a>［f(x)］max或a

例2 設f(x)=lg1+2x+4x#8226;a3，其中a∈R，如果當x∈（-∞，1］時f(x)有意義，求a的取值范圍.

解 由題意，可知1+2x+4x#8226;a>0對x∈(-∞，1］恒成立，

即a>-12x+14x在x∈(-∞，1］上恒成立.

令g(x)=-12x+14x，

∵g(x)在區間(-∞，1］上單調遞增，

∴g(x)max=g(1)=-34，

∴a>-34.

點評 本題首先利用函數有意義，將問題轉化為不等式a>f(x)恒成立結構.

3.利用數形結合求范圍

例3 當x∈(1，2)時，不等式(x-1)2

解 設y1=(x-1)2，y2=logax，

則y1的圖像為如圖所示的拋物線，要使對一切x∈(1，2)，y11，并且必須也只需當x=2時，y2的函數值大于或等于y1的函數值.

因此，loga2≥1，a>1，∴1

點評 將不等式兩邊分別設成兩個函數，左邊函數圖像為拋物線，右邊函數圖像為對數函數圖像，用圖像法較為明顯.

二、含參方程中參數的取值范圍

1.利用函數與方程關系求范圍

例4 已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0，若方程有兩根，其中一根在區間(-1，0)內，另一根在區間(1，2)內，求m的范圍.

解 設f(x)=x2+2mx+2m+1.

由題意，可得f(0)=2m+1<0，f(-1)=2>0，f(1)=4m+2<0，f(2)=6m+5>0m<-12，m∈R，m<-12，m>-56.

∴-56

點評 本題抓住二次方程x2+2mx+2m+1=0與二次函數f(x)=x2+2mx+2m+1的關系，結合根的分布規律達到解題目的.

2.利用“勾形函數f(x)=x+ax(a>0)單調性”求范圍

例5 已知關于x的方程cos2x+2msinx-9=0有解，求實數m的取值范圍.

解 原方程可化為sin2x-msinx+4=0.

令t=sinx，問題轉化為方程t2-mt+4=0（*）在［-1，1］上有解.

顯然t≠0，從而方程（*）化為m=t+4t=f(t).

∵f(t)在(0，2］和［-2，0)上均為減函數，

而f(1)=5，f(-1)=-5，

∴m∈(-∞，-5］∪［5，+∞).

點評 勾形函數f(x)=x+kx(k>0)的性質在高中數學中具有廣泛應用，教學中需強化應用.本題對方程t2-mt+4=0先通過分離變量轉化為m=t+4t，再應用勾形函數性質解之.

三、含參函數中參數的取值范圍

1.利用三角函數有界性求范圍

例6 已知sinx+siny=22，求cosx+cosy的取值范圍.

解 令cosx+cosy=t，

又 sinx+siny=22，

則(cosx+cosy)2+(sinx+siny)2=t2+12，

從而t2=2cos(x-y)+32≤72，

∴t∈-142，142 .

點評 本題關鍵在于利用余弦函數的有界性.

2.主參變換求范圍

例7 當|m|≤2時，函數f(x)=m(x2-1)-2x+1的值恒小于0，求x的取值范圍.

解 由題意，可得(x2-1)m-2x+1<0.

構造函數g(m)=(x2-1)m-2x+1，

因此，g(x)<0在|m|≤2時恒成立.

從而g(-2)<0，g(2)<0，解得-1+72

點評 對于(x2-1)m-2x+1<0，若按常規采用分類討論將非常繁瑣，而本解法運用變換主元，轉化為關于m的一次函數或常函數g(m)，再應用一次函數的單調性，使問題得以迅速解決.

3.利用幾何意義求范圍

例8 已知函數y=3-sinx4-2cosx，求y的范圍.

解 顯然x∈R，y=3-sinx4-2cosx可看作定點A(4，3)與動點B(2cosx，sinx)連線的斜率.而動點B的軌跡為橢圓x24+y2=1，因此y的值即為橢圓x24+y2=1上的動點與定點A(4，3)連線的斜率.

設過A且與橢圓相切的直線方程為y-3=k(x-4)，代入x24+y2=1，并整理得

(4k2+1)x2-8k(4k-3)x+16(4k2-6k+2)=0.

由Δ=0，得3k2-6k+2=0，解得k=1±33.

∴y∈1-33，1+33 .

點評 本題通過發現問題的幾何意義，借助直線與橢圓的位置關系，運用判別式加以解決，快捷簡便.

求參數問題的題型和解法還有很多，只要充分利用所給定的函數的特點和性質，具體問題具體分析，選用恰當的方法，對問題進行等價轉化，就能使問題獲得順利解決.