我“形”我“數”話函數

2011年江蘇省高考數學學科命題的指導思想清楚表明：“……注重知識內在聯系的考查，注重對中學數學中所蘊含的數學思想方法的考查.”而數形結合的思想方法是中學數學中所蘊藏的重要思想方法之一，因此我們應把數形結合的思想方法滲透到數學課堂教學之中.所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想.在數學教學中滲透和運用數形結合的思想方法，可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，可以幫助學生從具體的形象思維向抽象思維過渡，同時，又可以用抽象思維來完善形象思維.函數問題是中學數學永恒的主題，本文以高三函數專題復習課例談數形結合思想方法在數學課堂教學中的滲透.

一、函數概念問題

例1 （蘇教版必修1第29頁第6題）直線x=a和函數y=x2+1的圖像的公共點可能有幾個？

分析 作出函數y=x2+1的圖像和直線x=a的圖像數，形結合可知公共點有且只有一個.（本題當然可以用代數的方法代入求解，但數形結合更為直觀！）

利用坐標系數形結合求解，使抽象的數學問題直觀化！

二、函數定義域、值域(或最值)及含參問題

例2 求函數y=16-x2+-cosx的定義域.

分析 函數y=16-x2+-cosx定義域應滿足16-x2≥0且-cosx≥0，即-4≤x≤4且2kπ+π2≤x≤2kπ+3π2(k∈Z)，則畫數軸數形結合可知x∈-4，-π2∪π2，4.

利用數軸數形結合求解，使復雜的交集計算問題更直觀簡潔！

例3 求函數y=sinxcosx+2的值域.

分析 利用“三角函數的有界性”“判別式法”“不等式法”“導數法”等代數方法可解決，但較繁瑣.若將函數看成為單位圓上的點A(cosx，sinx)和定點B(-2，0)連線的斜率，將函數最值問題轉化為斜率的最值，只要求出過定點B(-2，0)且與單位圓相切的直線斜率即可.

設切線方程為y=k(x+2)，即kx-y+2k=0.由|2k|1+k2=1，得k=-33或k=33.則數形結合可知-33≤k≤33，所以值域為-33，33.

聯想斜率公式構造斜率，利用直線與圓相切求出斜率，數形結合求解，起到了事半功倍的效果！

例4 求函數y=x2-2x+2+x2-6x+13的最小值.

分析 函數y=x2-2x+2+x2-6x+13=(x-1)2+1+(x-3)2+4，設A(1，1)，B(3，2)，P(x，0)，(x-1)2+1+(x-3)2+4的幾何意義是x軸上的動點P到兩定點A，B的距離之和，設A(1，1)關于x軸的對稱點是C（1，-1），畫坐標系數形結合可知函數最小值為CB=13.

此類函數的最值問題用代數的方法來解決是非常困難的，利用其幾何意義數形結合求解直觀、形象！

三、函數圖像問題

例5 函數f(x)=2|log2x|-x-1x的大致圖像為.

分析 函數f(x)=2|log2x|-x-1x的定義域為(0，+∞)，又函數f(x)=2|log2x|-x-1x可以化簡為f(x)=1x，x≥1，x，0

研究較復雜的函數的“圖像”（或性質）必須建立在嚴謹的“數”的基礎上，數形結合求解直觀、形象！

四、函數單調性及含參問題

例6 函數f(x)=x2-2ax+3.

（1）若函數f(x)在(-∞，0)上單調遞減，則實數a的范圍為.（答案：a≥0）

（2）若函數f(x)的單調遞減區間為(-∞，0)，則實數a的值為.（答案：a=0）

（3）研究函數f(x)在(1，2)的單調性及最小值g(a).

分析 對于前兩問的處理抓住“在區間A上單調遞減”和“單調遞減區間B”的區別和聯系(AB)，畫二次函數的圖像數形結合可求.第（3）問是二次函數“軸動區間定”的最值問題，分類討論對稱軸x=a與區間(1，2)的位置關系（即a與1和2的大小關系），數形結合（如圖1，2，3）可研究其單調性，并可求出最小值為g(a)=4-2a，a≤1，3-a2，1

此類二次函數“軸動區間定”的最值問題，數形結合求解直觀、形象！

例7 設a為實數，函數f(x)=x2+|x-a|+1(x∈R)，求f(x)的最小值.

分析 ①當x≤a時，f(x)=x2-x+a+1.

若a≤12，f(x)=x-122+a+34.

f(x)在(-∞，a］上單調遞減，從而f(x)在(-∞，a］上的最小值為f(a)=a2+1.

若a>12，f(x)在(-∞，a］上的最小值為f12=34+a且f12≤f(a).

②當x≥a時，函數f(x)=x2+x-a+1=x+122-a+34.

若a≤-12，f(x)在［a，+∞)上的最小值為f-12=34-a，且f-12≤f(a).

若a>-12，f(x)在［a，+∞)上單調遞增，從而f(x)在［a，+∞）上最小值為f(a)=a2+1.

綜上所述，當a≤-12時，f(x)的最小值是f-12=34-a；

當-12

當a>12時，f(x)的最小值是f12=34+a.

求解本題的關鍵是去絕對值符號，轉化為二次函數，利用二次函數圖像對a進行分類討論.

五、函數奇偶性及含參問題

例8 若f(x)是奇函數，且在(-∞，0)上是增函數.又f(3)=0，則x#8226;f(x)>0的解集是.

分析 由f(x)是奇函數且f(3)=0，可得f(-3)=0.又f(x)是奇函數，且在(-∞，0)上是增函數知f(x)在(0，+∞)上是增函數，結合草圖（右圖）可知x#8226;f(x)>0的解集是(-∞，-3)∪(3，+∞).

此類抽象函數的問題，數形結合求解直觀、形象！

六、函數恒成立及含參問題

例9 （2008年江蘇高考14）設函數f(x)=ax3-3x+1對于x∈［-1，1］總有f(x)≥0成立，則a=.

分析 由題f(x)=ax3-3x+1≥0在x∈［-1，1］恒成立，即等價轉化為ax3≥3x-1在x∈［-1，1］恒成立.

構造函數法一 設f(x)=ax3，g(x)=3x-1，則f(x)≥g(x)在x∈［-1，1］恒成立.作出兩個函數f(x)=ax3，g(x)=3x-1的圖像，易知a≤0時不合題意，故a>0.設在P(x0，y0)處直線g(x)=3x-1與曲線f(x)=ax3(a>0)相切，則y0=3x0-1，3ax20=3，y0=ax30，解得a=4.此時直線g(x)=3x-1與曲線f(x)=ax3(a>0)還相交于Q(-1，-4)，若a≠4(a>0)時，數形結合可知不合題意.

構造函數法二 本題易知a≤0時不合題意，ax3≥3x-1還可以等價轉化為x3≥1a(3x-1)在x∈［-1，1］恒成立.作出兩個函數f(x)=x3，g(x)=1a(3x-1)(a>0)的圖像，同法一利用導數知識和數形結合思想可求得a=4.

本題是含參數的函數恒成立問題，利用“分類討論法，結合導數知識求函數最值”或“分離參數法，結合導數知識求函數最值”較復雜，若利用“構造函數法，結合導數知識數形結合”來求解可使問題迎刃而解！

七、函數交點個數、方程實數根及含參問題

例10 （2008年湖北卷文13）方程2-x+x2=3的實數解的個數為.

分析 畫出y=2-x與y=3-x2的圖像，有兩個交點，故方程2-x+x2=3的實數解的個數為2個.

例11 （2008年上海卷理11）方程x2+2x－1＝0的解可視為函數y＝x+2的圖像與函數y＝1x的圖像交點的橫坐標，若x4+ax－4＝0的各個實根x1，x2，…，xk(k≤4)所對應的點xi，4xi（i＝1，2，…，k）均在直線y＝x的同側，則實數a的取值范圍是.

分析 方程的根顯然x≠0，原方程等價于x3+a=4x，原方程的實根是曲線y=x3+a與曲線y=4x的交點的橫坐標；而曲線y=x3+a是由曲線y=x3向上或向下平移|a|個單位而得到的.若交點xi，4xi（i＝1，2，…，k）均在直線y＝x的同側，因直線y＝x與y=4x的交點為(-2，-2)，(2，2)，所以結合圖像可得a>0，x3+a>-2，x≥-2或a<0，x3+a<2，x≤2a∈…(-∞，-6)∪(6，+∞).

此類函數的問題，數形結合來求解可使問題迎刃而解！

美國著名數學教育家波利亞說過，掌握數學就意味著要善于解題.數形結合是數學的本質特征，在數學課堂的教學中滲透數形結合思想方法正是充分把握住了數學的精髓和靈魂.數學是思維的科學，是一個高度抽象的思維王國，而數形結合是深化思維的有力“杠桿”，是培養學生解題能力的一種重要手段.在數學教學中，由數想形、以形助數的數形結合思想，具有可以使問題直觀呈現的優點，有利于加深學生對知識的識記和理解；在解答數學題時，數形結合，有利于學生分析題中數量之間的關系，豐富表象，引發聯想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解決問題的方法，從而提高分析問題和解決問題的能力.

數形結合思想方法中數與形被自然地結合在一起，使它不但成為解決數學問題的方法，而且作為一種數學思想融于高中數學教學之中，它是將知識轉化為能力的“橋”.這正像華羅庚教授說過的“數缺形時少直覺，形少數時難入微，二者結合萬般好，倘若分離萬事休”.

抓住數形結合思想教學，不僅能夠提高學生數形轉化能力，還可以提高學生遷移思維能力.因此，作為一項教學改革，需要我們在數學教學的每一個教學環節中，都要重視數形結合思想方法的教學，要把數形結合思想方法滲透到分析過程中，讓學生體會數形結合思想方法對解決問題的巨大作用，強化應用意識，要爭取胸中有圖，見數想圖，以開拓學生的思維視野.“授之以魚，不如授之以漁”，方法的掌握，思想的形成，才能使學生受益終生.

【參考文獻】

［1］中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準(實驗)［M］.北京：人民教育出版社，2003.

［2］［美］G.波利亞.怎樣解題.閻育蘇，譯.科學出版社，1982.

［3］單墫.數學是思維的科學［J］.數學通報，2001（6）.