“回歸”在職教數學中的應用

【摘要】本文通過“置信度與置信區間”這兩個抽象的概念，引出《概率》與《統計》中正態分布總體的概率性質和隨機變量的定義，化抽象為具體，回歸到生成或相關的事實，同時，也將這種“回歸”用到了解習題上，體現一題多解.

【關鍵詞】回歸；事實；概率

數學的學習實際上是文字和符號的學習，這些干巴巴的文字與符號學生聽起來比較晦澀.如果將這些文字符號所代表的思想與生成的或相關的事物聯系起來，聽眾將會是“柳暗花明”.帕斯卡曾說：“在心里用定義的事實來代替被定義的術語.”著名哲學家胡塞爾明確指出：“為了獲得比較可靠的知識，顯然需要進一步的還原，在自明的直觀所給予的東西中區別出某種東西，這種東西的存在是絕對可靠的，毋庸置疑的……”

例如，假設燈泡的使用壽命X～N(μ，652)，分別以90%，95%，99%的置信度（即a=0.10，0.05，0.01），估計X的數學期望μ（平均使用壽命）.

筆者按照書上的做法講授了一遍，學生如墜霧里.于是我接著進行了以下的設計：

T：同學們，當置信度為90%時，置信區間是多少？

S：［3232.06，3262.30］.

T：當置信度為95%時，置信區間是多少？

S：［3229.17，3265.19］.

T：當置信度為99%時，置信區間呢？

S：［3223.51，3270.85］.

T：結合這三個置信度，當置信度越大，置信區間發生什么變化呢？

S：置信區間越來越大.

T：對，當置信度越大，即可靠程度越大，數學期望μ所在的范圍一定越大.這就好比對一個人的信任，若這個人的可信度為90%，則他所說的話中100句有90句可能為真，若這個人的可信度為95%，則100句有95句可能為真，若這個人的可信度為99%，則100句有99句可能為真，這里的90，95，99即可理解為可信區間.從這里可以看出：可信度越大，可信區間越大.這和置信度與置信區間是一樣的.

學生終于恍然大悟.由此，《概率》與《統計》涉及大量的數學符號，大量的抽象的知識，學生接受起來不容易，若將它與它最初產生的事實聯系起來，也就是回歸到直觀的經驗狀態，學生接受的狀況將會大為改觀.小威廉姆E.多爾認為：“在回歸中……思想要返回到自身，如杜威的間接經驗返回到直接經驗，或者皮亞杰的內省智力返回到實用智力，或者如布魯納所言的‘從自己所做的事中后退一步’，那么以某種方式區分自己與自己的思想——是必要的.”

正態分布有如下的性質：P（X=a）=0，a∈R.但是如果用密度曲線解釋時，則不然.這該如何解釋呢？筆者是這樣講授的：密度曲線函數不是普通的函數，所以通常函數具有的性質它卻不具備.密度曲線是頻率分布直方圖的一種極限情況，它具有頻率分布直方圖的一切性質，頻率分布直方圖中的矩形的面積是概率，從而利用這條性質X=a，a∈R在密度曲線中是一線段，而線段的面積為0，故P（X=a）=0，a∈R.

甚至，相關的事物在理解有關定義時，也能給我們帶來幫助.比如，隨機變量的定義，我們可以和一般的變量結合起來，即回到函數的定義上來，函數可以作為隨機變量的知識生長點.

在講授新課的過程中，我們可以將新知識與生成、相關的事實聯系起來，幫助我們理解.同樣，在解題過程中，可以利用現成的公式，也可以回歸到原始的公式，實現一題多解.如：

例1 （江蘇省2007年普通高校單獨招生統一考試試卷）一個口袋中裝有3個紅球，2個白球，甲、乙兩人分別從中任取一個球（取后不放回）.如果甲先取、乙后取，試問：

（1）甲取到白球且乙取到紅球的概率是多少？

（2）甲取到紅球且乙取到紅球的概率是多少？

（3）甲、乙兩人誰取到紅球的概率大？并說明理由.

解 設A={甲取到白球且乙取到紅球}，B={甲取到紅球且乙取到紅球}，則：

（1）P(A)=C12×C13C15×C14=310.

（2）P(B)=C12×C13C15×C14=310.

（3）P=C13C15=35.

事件A與事件B互斥，故P(A)+P(B)=310+310=35.

所以，甲、乙兩人取到紅球的概率一樣大.

例2 （江蘇省2005年普通高校單獨招生統一考試試卷）甲袋中有4個紅球2個白球，乙袋中有3個紅球4個白球，先從甲袋中任取一個球放入乙袋，再從袋中任取一個球，求取得紅球的概率.

解 方法一 利用全概率公式

設A1={從甲袋中取得紅球}，A2={從甲袋中取得白球}，

B1={從乙袋中取得紅球}，B2={從乙袋中取得白球}，

滿足A1和A2互斥，且A1∪A2=Ω，B1∪B2=Ω，

故P=P(A1)#8226;P(B1)+P(A2)#8226;P(B2)

=46×48+26×38=16+648=1124.

方法二 利用古典概型

μ=C14×C14+C12×C13=22，

n=C16×C18=48，

故P=μn=2248=1124.

可見，將數學知識與生成的事實聯系起來，變抽象為具體，不僅能更好地理解知識，掌握知識，也能給我們提供更多的解題方法，這真是應驗了一句話——退一步海闊天空.

【參考文獻】

鐘志華.回歸:一種重要的數學策略.教學與管理，2008（1）：50.