關于中職函數教學的幾點思考

【摘要】函數的概念及相關內容是高中和職業(yè)類教材中非常重要的部分，許多學生認為這些內容比較抽象、難懂，圖像多，方法靈活多樣，以致部分學生對函數知識產生恐懼感.下面就教學過程中學生的反應和自己的反思，淺淡幾點自己的看法.

【關鍵詞】函數；對應；映射；數形結合

一、要把握函數的實質

17世紀初期，笛卡兒在引入變量概念之后，就有了函數的思想，把函數一詞用作數學術語的是萊布尼茲，歐拉在1734年首次用f(x)作為函數符號.關于函數概念有“變量說”“對應說”“集合說”等.變量說的定義是：設x，y是兩個變量，如果當變量x在實數的某一范圍內變化時，變量y按一定規(guī)律隨x的變化而變化.我們稱x為自變量，變量y叫變量x的函數，記作y=f(x).初中教材中的定義為：如果在某個變化過程中有兩個變量x，y，并且對于x在某個范圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值與之對應，那么y就是x的函數，x叫自變量，x的取值范圍叫函數的定義域，和x的值對應的y的值叫函數值，函數值的集合叫函數的值域.它的優(yōu)點是自然、形象和直觀、通俗地描述了變化，它致命的弊端就是對函數的實質——對應缺少充分地刻畫，以致不能明確函數是x，y雙方變化的總體，卻把y定義成x的函數，這與函數是反映變量間的關系相悖，究竟函數是指f，還是f(x)，還是y=f(x)，使學生不易區(qū)別三者的關系.

迪里赫萊（P.G.Dirichlet）注意到了“對應關系”，于1837年提出：對于在某一區(qū)間上的每一確定的x值，y都有一個或多個確定的值與之對應，那么y叫x的一個函數.19世紀70年代集合論問世后，明確把集合到集合的單值對應稱為映射，并把“一切非空集合到數集的映射稱為函數”，函數是映射概念的推廣.對應說的優(yōu)點有：①它抓住了函數的實質——對應，是一種對應法則.②它以集合為基礎，更具普遍性.③它將抽象的知識以模型并賦予生活化.比如：某班每一位同學與身高（實數）的對應；某班同學在某次測試的成績的對應；全校學生與某天早上吃的饅頭數的對應等都是函數.函數由定義域、值域、對應法則共同刻畫，它們相互獨立，缺一不可.這樣很明確地指出了函數的實質.

對于集合說是考慮到集合是數學中一個最原始的概念，而函數的定義里的“對應”卻是一個外加的形式似乎不是集合語言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了純集合論形式的定義：如果集合f={(x，y)|x∈A，y∈B}且滿足條件，對于每一個x∈A，若(x，y1)∈f，(x，y2)∈f，則y1=y2，這時就稱集合f為A到B的一個函數.這里f為直積A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一個特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定義的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定義過于形式化，它舍棄了函數關系生動的直觀，既看不出對應法則的形式，更沒有解析式，不但不易為中學生理解，而且在推導中也不便使用，如此完全化的數學語言只能在計算機中應用.

二、加強數形結合

數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程.在7~12年級所研究的函數主要是冪函數、指數函數、對數函數和三角函數，對每一類函數都是利用其圖像來研究其性質的，作圖在教學中顯得無比重要.我認為這一部分的教學要做到學生心中有形，函數圖像就相當于佛教徒心中各種各樣的佛像，只要心中有形，函數性質就比較直觀，處理問題時就會得心應手.函數觀念和數形結合在數列及平面幾何中也有廣泛的應用.如函數y=log0.5|x2-x-12|單調區(qū)間，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0時，x=-3或x=4，知t函數的圖像是變形后的拋物線，其對稱軸為x=?與x軸的交點是x=-3或x=4并開口向上，其x∈(-3，4)的部分由x軸下方翻轉到x軸上方，再考慮對數函數性質即可.又如：判定方程3x2+6x=1[]x的實數根的個數，該方程實根個數就是兩個函數y=3x2+6x與y=1[]x圖像的交點個數，作出圖像交點個數便一目了然.

三、將映射概念下放

就前面三種函數概念而言，能揭示函數實質的只有“對應說”，如果在初中階段把“變量說”的定義替換成“對應說”的定義，可有以下優(yōu)點：(1)體現數學知識的系統(tǒng)性，也顯示出時代信息，為學生今后的學習做準備.(2)凸顯數學內容的生活化和現實性，函數是刻畫現實世界數量變化規(guī)律的數學模型.(3)變抽象內容形象化，替換后學生會感到函數概念不再那么抽象難懂，好像伸手會觸摸到一樣，身邊到處都有函數.學生就會感到函數不再那么可怕，它無非是一種映射.只需將集合論的初步知識下放一些即可，學生完全能夠接受，因為從小學第一學段就已接觸到集合的表示方法，第二學段已接觸到集合的運算，沒有必要作過多擔心.以前有人提出將概率知識下放的觀點，當時不也有人得出反對意見嗎？可現在不也下放到了小學嗎？如果能下放到初中，就使得知識體系更完備，銜接更自然，學生易于接受，學生就不會提出“到底什么是函數？”這樣的問題.

四、區(qū)分函數與方程

盡管函數和方程都是反映量與量之間的關系，可函數反映的是變量和變量之間的關系，強調的是一個變量隨另一個變量的變化情況，從函數的角度來看，考慮的是x和y在各自取值范圍內，彼此間怎樣相互變化.而方程反映的是未知量和已知量之間的關系，等式F（x，y）=0是一個方程，只有在一定條件下才能確定為一個函數，從方程的角度來看，考慮的是x和y選取哪些數值時才能使等式成立，另一方面，如果變量x和y的函數關系可以用解析式y(tǒng)=f(x)表示，那就得到一個方程y-f(x)=0，它們是可以互相轉化的，有時用方程知識去研究函數，也常用函數知識去研究方程.

五、三角函數式的求值

1.給角求值

要求熟練掌握兩角和與差的三角函數的基本公式、二倍角公式，特別要注意逆向使用和差角公式與二倍角公式，以此將非特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數.

總結評述 本題的解題思路是：變角→切割化弦→化異角為同角→轉化為特殊角→約去非特殊角的三角函數.

解此類問題的方法是:轉化為特殊角，同時能消去非特殊角的三角函數.

2.給值求值

給出角的一種三角函數值，求另外的三角函數式的值，常用到同角三角函數的基本關系及其推論，有時還用到“配角”的技巧，解題的關鍵是找出已知條件與欲求的值之間的角的運算及函數名稱的差異，對已知式與欲求式施以適當的變形，以達到解決問題的目的.

例2 已知1+tanα1-tanα=5+26，求1-sin2αcos2α的值.

策略 要求1-sin2αcos2α的值，條件1+tanα1-tanα=5+26是非常重要的，要從這一條件出發(fā)，將α的某一三角函數值求出，即可獲解.

3.給值求角

給出三角函數值求角的關鍵有二：

（1）求出要求角的某一三角函數值（通常以正弦或余弦為目標函數）.

（2）確定所求角在（已求該角的函數值）相應函數的哪一個單調區(qū)間上（注意已知條件和中間所求函數值的正負符號）.

例3 在△ABC中，abc三邊成等比：

（1）求∠B的取值范圍.

（2）不等式cos2B-2cosB + m大于零恒成立，求m的取值范圍.

解析 （1）由等比知 b2=ac.根據余弦定理，得

（2）原式=2cosB2-2cosB+m-1>0 恒成立.

m>1-2cosB2+2cosB，解得m>32.

【參考文獻】

［1］鐘志華.理解性數學教學論.南京師范大學，2007.

［2］董玉成.我國當代中學函數教育特征研究.華東師范大學，2007.

［3］葛儒鈞.中等職業(yè)技術學校語文教學淺析.吉林教育，2010(1).

［4］陳立春.實實在在“做”數學.數學學習與研究，2010(4).