從《雞兔同籠題,千年沒變過》說開去

偶見2010年11月9日《錢江晚報》上的一篇文章《雞兔同籠題，千年沒變過》，筆者認真拜讀以后，明白了作者寫這篇文章的目的是想反映小學數學應用題中存在的若干脫離實際生活的古董題和雷人題，小學數學教材中應該把這些內容取消.文章以雞兔同籠問題為例，指出現在教材一些應用題存在的問題，應該把它們歸為要取消的內容之一.筆者在此就這些問題提出一些不同的觀點，希望與文章作者及同行探討.

一、“雞兔同籠”問題流傳至今有它存在的價值

文章中提出“雞兔同籠”問題是脫離實際生活的，應該把它作為古董供奉起來了.其實我們也在反思：“雞兔同籠”問題為什么能流傳至今？存在就有存在的理由，那么它存在的理由和價值是什么？我們可以用一句簡單的話概括：因為它經典.經典體現在以下幾個方面：

1.作為一道經典名題，無論男女老少，無論用什么方法，都可能找出答案來.如果你一點數學知識都沒有，你可以用最直觀、最簡單的畫圖法，即：先畫35個豎線，用它來表示頭，再在它們的下面畫94個小豎線表示腳，畫小豎線可以采取這樣的策略：第一種策略就是先在35個豎線下面各畫2個小豎線，這樣一共有70只腳，但實際是94只，所以還要畫24只腳，這樣在原來的基礎上，有12只雞要變成兔子，結果就出來了.第二種策略就是先在35個豎線下面各畫4個小豎線，這樣一共有140只腳，但實際是94只，所以還要去掉46只腳，這樣在原來的基礎上，有23只兔子要變成雞，結果很明顯.如果你有點數學知識，再發揮你的想象力，在前面所講方法的基礎上你可以想出更多、更妙的解決辦法.

2.“雞兔同籠”問題其實是一類問題的經典模型，可以引申出很多的問題.如果你僅僅把當作一個問題來理解，也許真會覺得毫無價值.但如果你把它當作一個典型問題，當作一個數學模型來審視，你就會發現生活中還有更多問題都類似這個模型，這時它就具有了更多的教育意義.

3.“雞兔同籠”問題有許多經典的解法，如畫圖法、列表法、假設法、方程法等.雖然大多數人看到“雞兔同籠”問題只會想到方程法，但是我們也不能忘了前面的幾種方法，因為這些方法提高了不同年齡階段學生的思維能力.

中國古代數學是人類文化和智慧成就中最偉大的一部分，學生應該擁有理解和欣賞這一偉大成就的機會和要求.

二、如果取消“雞兔同籠”問題，我們將會失去什么

“數學要生活化是趨勢，像雞兔問題，我們就可以換個更生活化的場景讓學生解答.例如，劉老師帶了41名同學去西湖劃船，共租了10條船，每條大船坐6人，每條小船坐4人，問：大船、小船各租幾條？”這是杭州現代實驗小學老師付吉娜在《雞兔同籠題，千年沒變過》一文中提出的觀點.筆者對付老師的觀點有不同的看法.

如果真用租船問題來代替雞兔同籠問題，學生就不知道“雞兔同籠”問題是一個已經在我國流傳了1500多年的數學名題了，無法知道我國古代數學所取得的偉大成就.早在1500多年前，我們的祖先就能在社會實踐中提出“雞兔同籠”問題，并給出了十分奇妙、獨特的解法.

如果真用租船問題來代替雞兔同籠問題，學生也不能體會到“雞兔同籠”問題各種解法的絕妙與神奇.人們發揮自己的無窮想象力，得到不少絕妙的方法.絕妙方法1：讓所有的兔后兩只足站立，前兩只足抬起；絕妙方法2：把雞有兩只翅膀也作為足；絕妙方法3：讓所有的雞都來個“金雞獨立”，同時讓所有的兔后兩只足站立.許多文章都給出了這些方法的具體解法，本文就不重復.

如果真用租船問題來代替雞兔同籠問題，學生不會去了解我們的祖先是如何用算籌的方法解決“雞兔同籠”問題，無法知道我國古代數學對當今數學的影響.

注 “除”在這里是“減”的意思.

以上解法十分奇妙，通過布列籌式方陣，然后規定一套機械化的算法，一步步達到解決數學問題的目的，這是我國傳統數學的突出特點.用這種機械化、算法化的方法解決實際問題，對于現代數學具有重要的指導價值.

三、改進我們的教學，讓“雞兔同籠”問題常講常新

在《雞兔同籠題，千年沒變過》一文中，網名“娃娃魚”的爸爸提出這樣的觀點：兒子做的題目竟然和我小學時做過的一模一樣，沒有新意.筆者覺得這樣的理由是站不住腳的，我們小時候吃大米，等我們長大了，就不能再讓我們的孩子吃大米嗎？但他所說“雞兔同籠”問題沒有新意，這值得我們深思.在實際的教學過程中，怎樣才能讓“雞兔同籠”問題常講常新？筆者認為可以這樣講解“雞兔同籠”問題：

一年級可以選擇畫圖法，二、三年級可以選擇列表法，四年級可以選擇假設法，五年級用方程法.在高中階段，當我們學習解析幾何時，把方程x+y=35和方程2x+4y=94看成兩條直線，把“雞兔同籠”問題轉化為求兩條直線的交點問題.當我們學了向量基本定理以后，“雞兔同籠”問題看成對于向量a=(35，94)，e1=(1，2)，e2=(1，4)，是否存在正整數x，y，使得a=xe1+ye2成立.學習矩陣與變換以后，我們又可以從這樣的角度來理解“雞兔同籠”問題：已知一個變換和變換的結果，是否存在滿足條件的一個向量.即：已知1124xy=3594，求xy.

隨著學習的不斷深入，對于“雞兔同籠”問題也應該有更多的解法.如我們從矩陣角度，可以利用Excel提供了一些矩陣運算的函數來解決“雞兔同籠”問題.

求解具體步驟如下：

(1)在Excel中輸入系數矩陣A.

在Excel工作表中任選2行2列的一個區域，如A1：B2，將系數行列式的元素依次輸入到該區域.

(2)求系數矩陣的逆A-1.

在Excel工作表中再選2行2列的一個區域D1：E2，單擊“插入”工具欄中“fx函數”按鈕.在“函數分類”中選擇“數學與三角函數”類，然后選擇“MINVERSE”函數.在“Array”輸入框中輸入區域A1：B2并單擊“確定”.

將光標定位在編輯欄中所輸入公式的結尾處，然后同時按下Ctrl，Shift，Enter 三個鍵，則在區域D1：E2中顯示出矩陣A的逆矩陣A-1的系數

(3)求線性方程組的解.

求線性方程組的解也就是求矩陣的逆矩陣A-1與列向量的乘積：X=A-1B.

在上面同一張工作表中的D1：E2區域存放的是系數矩陣的逆矩陣A-1，再選定一個2行1列的區域如G1：G2，將列向量B輸入到該區域中去.

另外選擇一個2行1列的區域如I1：I2，單擊“插入”工具欄中“fx函數”按鈕.在“函數分類”中選擇“數學與三角函數”類，然后選擇“MMULT”函數.

在“Array1”輸入框中輸入矩陣的A-1所在區域D1：E2；在“Array2”輸入框中輸入列向量B所在的區域G1：G2，然后單擊“確定”.

將光標定位在編輯欄中所輸入公式的結尾處，然后按下Ctrl，Shift，Enter 三個鍵，則區域I1：I2中顯示出兩個矩陣乘積結果，即方程的解.

利用Excel解決“雞兔同籠”問題更大的意義在于它提供了求線性方程組的解的機械方法，避免了繁瑣的手工運算，提高了工作效率.

四、拋開功利，利用“雞兔同籠”問題揭示數學的本質

在《雞兔同籠題，千年沒變過》一文中，作者建議在小學數學卷上多出一些關于商場對顧客的優惠和商場打折的問題，理由是“小朋友學會做這樣的題目，說不定還能幫媽媽在血拼中省點錢”.這樣的想法是不是太功利？在對待“雞兔同籠”問題上，我們應該拋開功利，把更多的注意力放在數學本身的作用上，利用“雞兔同籠”問題揭示數學的本質.

（1）學習數學的目的是通過學數學來理解世界，理解世間與之有關的各種現象.人們在社會實踐中看到，一只雞有一個頭兩只腳，一只兔有一個頭四只腳，如果我們知道雞和兔的只數，可以求出一共有多少只腳.這個問題太簡單了，我們想到研究問題的另一面：如果知道雞和兔的頭和腳的只數，能不能求出雞和兔各有多少只？“雞兔同籠”問題的提出便水到渠成.從數學的視角理解世界，理解世間與之有關的各種現象，這就是學習數學的目的.

（2）數學不僅僅是應用公式，數學的實質是一種思維方式，是一種解釋世間許多現象的工具.當我們學習方程以后，幾乎不約而同地選擇了列方程來解“雞兔同籠”問題，因為我們覺得方程法是解決此類問題最好的方法.如何看待其他方法呢？我覺得無論畫圖法、列表法、假設法，還是方程法，都是一種思維方式，沒有優劣之分，只要適合學生實際和學生真正理解的方法就是好的方法.

（3）通過數學來證實和證偽某些答案，以及在這個過程中所培養和鍛煉的推理能力.

在許多人眼里，“雞兔同籠”問題完全只是個計算問題，讓我們來看美國的教育是怎樣處理類似問題的.

某個住在湖邊的老人養有狗和鴨子.某天，老人看到5個頭，14個腳.老人看到的是多少條狗？多少只鴨？

學生回答：“設狗為x，設鴨為y，4x+2y=14，x+y=5.”

當學生得到以上兩個公式以后，老師問道：“這兩個公式對不對？”學生七嘴八舌：“對啦！”

老師：“我來問你們：5條狗和4只鴨，對不對？”

學生轟然：“不對！5條狗和4只鴨，一共是9個頭，老人只看到5個頭.”

老師：“那么，誰能告訴我狗腳和鴨腳的數目？”

學生們你望我，我望你，不知所措……

老師：“如果我告訴你們：狗不少于4條.你們認為怎么樣？”

學生B：“不對，請看看我設計的公式：腳的總數是14，而4條狗就有16條腿.除非老人喝醉了，把自己的腳也數進去了！”哄堂大笑！

老師：“非常好！那能不能是3條狗呢？”學生們陷入思考……

花了快一節課的時間，老師和學生推理來推理去得到答案：2條狗，3只鴨.為什么不一開始就讓學生拿公式來算，這樣豈不更簡單？

在這個問題上，美國的學生認為：有時候，你不能證實一個答案是錯的，你就不能證實另一個答案是對的.美國的老師則認為：數學課不是算術，更不是用一個似懂非懂的公式去計算一個只有公式才能告訴你的答案.我們的學生和老師是不是經常能提出這樣的問題：為什么這么做是對的？為什么那么做是不對的？我們能不能通過演繹推理和歸納推理來證實和推翻某些答案，以及在這個過程中培養和鍛煉推理能力？

（4）數學除了能培養學生提煉問題的能力，還能幫助人們理解新知識、新概念.

我們可以通過對“雞兔同籠”問題的討論，培養學生提煉問題的能力，引入新的概念——矩陣.愛因斯坦也借助我們常見的一道數學應用題來幫助人們理解高深的理論，他用以光速相對而行的兩列火車和車下的觀測者之間的關系來說明“相對論”.

總之，“雞兔同籠”問題不能隨便取消，相反地，我們要好好利用它，讓學生們看到中國古代數學的偉大成就，并且常講常新，充分理解特性數學的本質，培養學生的數學思維，提高學生的數學素養.