如何求解函數(shù)表達(dá)式

同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，由于函數(shù)概念比較抽象，學(xué)習(xí)起來感到非常棘手，特別是對(duì)解有關(guān)函數(shù)表達(dá)式的問題感到困難，學(xué)好這部分知識(shí)，能加深同學(xué)們對(duì)函數(shù)概念的理解，更好地掌握函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)同學(xué)們對(duì)函數(shù)理解的靈活性，提高解題能力，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維素質(zhì).現(xiàn)將常見解法總結(jié)如下：

1.待定系數(shù)法

先確定函數(shù)類型，設(shè)定函數(shù)關(guān)系式，再由已知條件，定出關(guān)系式中的未知系數(shù).

例1 已知f(x)為二次實(shí)函數(shù)，且f(x+1)+f(x-1)=x2+2x+4，求f(x).

解 設(shè)f(x)=ax2+bx+c，則

f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2(a+c)=x2+2x+4.

比較系數(shù)，得2(a+c)=4，2a=1，2b=2a=12，b=1，c=32.

∴f(x)=12x2+x+32.

2.換元法

即用中間變量表示原自變量x的代數(shù)式，從而求出f(x)，這也是證明某些公式或等式常用的方法，此解法培養(yǎng)學(xué)生解題的靈活性及變形能力.

例2 已知fxx+1=2x+1，求f(x).

解 設(shè)xx+1=u，則x=u1-u.

∴f(u)=2u1-u+1=2-u1-u.

∴f(x)=2-x1-x.

3.拼湊法

在已知f(g(x))=h(x)的條件下，把h(x)拼湊成以g(u)表示的代數(shù)式，再利用代換即可求f(x).此解法簡捷，還能進(jìn)一步復(fù)習(xí)代換法.

例3 已知fx+1x=x3+1x3，求f(x).

解 ∵fx+1x=x+1xx2-1+1x2

=x+1xx+1x2-3，

又 ∵x+1x=|x|+1|x|≥1，

∴f(x)=x(x2-3)=x3-3x，(|x|≥1).

4.利用函數(shù)性質(zhì)法

主要利用函數(shù)的奇偶性，求分段函數(shù)的解析式.

例4 已知y=f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=lg(x+1)，求f(x).

解 ∵f(x)為奇函數(shù)，

∴f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故先求x<0時(shí)的表達(dá)式.

∵-x>0，

∴f(-x)=lg(-x+1)=lg(1-x).

∵f(x)為奇函數(shù)，

∴l(xiāng)g(1-x)=f(-x)=-f(x).

∴當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=-lg(1-x).

∴f(x)=lg(1+x)，x≥0，-lg(1-x)，x<0.

5.賦值法

給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出f(x)的表達(dá)式.

例5 設(shè)f(x)的定義域?yàn)樽匀粩?shù)集，且滿足條件f(x+1)=f(x)+f(y)+xy，f(1)=1，求f(x).

解 ∵f(x)的定義域?yàn)镹，取y=1，則有f(x+1)=f(x)+x+1.

∵f(1)=1，

∴f(2)=f(1)+2， f(3)=f(2)+3，…， f(n)=f(n-1)+n.

以上各式相加，有f(n)=1+2+3+…+n=n(n+1)2，

∴f(x)=12x(x+1)，(x∈N).