變量代換法在求解若干類型微分方程中的運用

【摘要】變量代換法是求解微分方程時常用的一種輔助方法.它不僅是一種重要的解題技巧，也是一種重要的數(shù)學思維方法.巧妙地運用變量代換法，不僅可使所求方程簡化，還可提高解題速度.本文通過結合實例給出了變量代換法在求解若干類型微分方程中的具體應用.

【關鍵詞】微分方程；變量代換；解法

【基金項目】新疆昌吉學院科研基金（2010YJYB008）.

一、引 言

微分方程是指表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導數(shù)與自變量之間的關系的方程.它是數(shù)學專業(yè)中一門非常重要的基礎課.微分方程在工程、經(jīng)濟、管理、電路等領域都有廣泛應用.關于微分方程的解法很多，在許多教材中都有歸納和總結.而變量代換法就是一種重要的求解微分方程的方法.它不僅是一種重要的解題技巧，也是一種重要的數(shù)學思維方法，恰當?shù)剡\用變量代換的方法常起到化難為易、化繁為簡的效果.例如：在研究電路理論和自動控制理論時，所建立的模型多數(shù)是常系數(shù)線性微分方程，為了把復雜的計算轉化為較簡單的計算，常采用變換法，從而使問題簡化.而作者根據(jù)教學過程中經(jīng)驗的積累，總結了變量代換法在求解幾類微分方程中的運用，闡述其在求解微分方程中所起的重要作用.

二、主要內(nèi)容

下面就微分方程的一些類型分類進行討論.

1.形如yf(xy)dx+xg(xy)dy=0

運用變量代換，令v=xy，即y=vx，得dy=xdv-vdxx2.

又 原方程可寫為xyf(xy)dx+x2g(xy)dy=0，

代入，得vf(v)dx+g(v)(xdv-vdx)=0.

分離變量并積分，得∫g(v)dvv［f(v)-g(v)］+lnx=C.

代入v=xy，得原方程的通解.

例1 求方程y(xy+1)dx+x(1+xy+x2y2)dy=0的通解.

解 該方程也可寫為xy(xy+1)+x2(1+xy+x2y2)dydx=0.

令u=xy，即y=ux，則dydx=xdudx-ux2，

那么原方程就變?yōu)閡(u+1)+(1+u+u2)xdudx-u=0.

分離變量并積分，得-12u2-1u+lnu=lnx+C1.

代入u=xy，得原方程的通解為

2x2y2lny-2xy-1=Cx2y2(C=2C1).

2.形如dydx=f(x±y)的微分方程

例2 求方程dydx=1x+y的通解.

解 令x+y=u，則y=u-x，那么dydx=dudx-1.

代入原方程，得dudx-1=1u.

分離變量并積分，得u-ln|u+1|=x+C.

以u=x+y代入上式，即得y-ln|x+y+1|=C.

3.齊次方程

定義1 如果一階微分方程可化成dydx=φyx…(1)的形式，那么就稱這個方程為齊次方程.

在齊次方程（1）中，可運用變量分離，令u=yx，則y=u#8226;x，那么dydx=u+xdudx.

代入（1）中，可得u+xdudx=φ(u).

移項并分離變量，得duφ(u)-u=dxx.

兩邊積分，得∫duφ(u)-u=∫dxx.

積分后，再以yx代替u，便得所給齊次方程的通解.

例3 求齊次方程xdydx=ylnyx的通解.

解 原方程可表示為dydx=yxlnyx，令u=yx，則y=u#8226;x，那么dydx=u+xdudx，則原方程化為u+xdudx=ulnu.

分離變量，得duu(lnu-1)=dxx.

積分，得lnu-1=Cx.

將u=yx代入上式，得通解為lnyx=Cx+1.

4.一階線性微分方程

定義2 形如dydx+p(x)y=Q(x)…（2）的方程稱為一階線性微分方程.如果Q(x)≡0，則它稱為齊次的；如果Q(x)≠0，則它稱為非齊次的.設方程(2)為非齊次線性方程.為求出它的解，可先求出方程（2）所對應的齊次線性方程的通解，即dydx+p(x)y=0.

分離變量后，得dyy=-p(x)dx.

兩邊積分，得y=Ce-∫p(x)dx.（3）

這就是對應的齊次線性方程的通解.

下面利用常數(shù)變易法來求（2）的通解.可以運用變量代換，令（3）中的C=u(x)，即作變換y=u(x)e-∫p(x)dx.(4)

于是dydx=u′(x)e-∫p(x)dx-u(x)p(x)e-∫p(x)dx.(5)

將（4）和（5）代入（2）中，整理并積分，得

u(x)=∫Q(x)e∫p(x)dxdx+C.

代入（4）式，得非齊次線性方程（2）的通解，即

y=e-∫p(x)dx(∫Q(x)e∫p(x)dxdx+C).

例4 求方程dydx-2yx+1=(x+1)52的通解.

解 先求對應的齊次方程dydx-2yx+1=0的通解.

變量分離后，得y=C(x+1)2.

再利用常數(shù)變易法，由變量代換，令C=u(x)，則有y=u(x)(x+1)2，那么dydx=u′(x)(x+1)2+2u(x)(x+1)，

代入，得u′(x)=(x+1)12.

積分，得u(x)=23(x+1)32+C.

于是所求方程的通解為

y=(x+1)223(x+1)32+C.

5.伯努利方程

定義3 形如dydx+p(x)y=Q(x)yn，(n≠0，1)的方程稱為伯努利方程.

該式兩邊同除yn，得y-ndydx+p(x)y1-n=Q(x).(6)

上式中項y-ndydx與ddx(y1-n)只差一個常數(shù)因子1-n，運用變量代換，令z=y1-n.

那么dzdx=(-n)y-ndydx.

用1-n乘（6）式兩邊，再通過上述代換，可得如下線性方程dzdx+(1-n)p(x)z=(1-n)Q(x).

求出這個方程的通解后，以y1-n代換z就得到該伯努利方程的通解.

例5 求方程dydx+yx=a(lnx)y2的通解.

解 用y2除方程兩端，得y-2dydx+1xy-1=a(lnx)，

即-d(y-1)dx+1xy-1=a(lnx).

運用變量代換，令z=y-1，則上述方程成為

dzdx-1xz=-a(lnx).

易得其通解為z=xC-a2(lnx)2.

以y-1代換z，得所求方程的通解為yxC-a2(lnx)2=1.

可以看出，變量代換法在求解微分方程中有廣泛應用.它作為一種基本的解題技巧，對于解決問題有重要意義.對于許多看似復雜的微分方程，通過變量代換法進行求解，就可使問題變得簡單易求.所以在微分方程的教學過程中要著重強調(diào)變量代換法的運用，要讓學生理解掌握，靈活運用，以提高學生的解題能力.

【參考文獻】

［1］王高雄，等.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，1982.

［2］莊萬.常微分方程習題解［M］.濟南：山東科學技術出版社，2005.

［3］同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學［M］.北京：高等教育出版社，2007.