二階常系數線性微分方程的一階線性求法

【摘要】給出了二階常系數線性非齊次微分方程特解的一種公式求法，簡化了二階常系數線性非齊次微分方程特解的求解.

【關鍵詞】二階線性非齊次；特解；公式法

二階常系數線性齊次微分方程的求解，現行高等數學教材一般都采用猜測、驗證的方式給出其通解.對此，有不少學生雖承認但仍心存質疑；二階常系數線性非齊次微分方程的求解，一般都根據自由項f(x)的形式特點，采用待定系數法，設出其特解形式，而后代入原方程求解，其設解結論的依據——常數變易法推導也是采用猜測、驗證的思路，同樣也不被一些學生認同.此外，待定系數法求二階常系數線性非齊次微分方程特解時，現行高等數學教材雖然都給出了特解的對應設法，但這種方法也存在一些局限性：第一，設解時形式多樣，初學者不易掌握；第二，代入求解過程比較繁瑣、復雜；第三，當f(x)為生疏的函數時不知如何下手.其實，以上疑惑和問題，一方面需要教師耐心解釋，另一方面也可以通過將二階常系數線性微分方程稍加變形，轉換成一階線性微分方程來解決，這樣既容易理解，又便于求解.

1.二階常系數線性齊次微分方程的一階線性求法

首先變形y″+py′+qy=0為(y′+my)′+n(y′+my)=0.

易知m+n=p，mn=q，即m，n是r2-pr+q=0的兩個根.

由于方程r2-pr+q=0與r2+pr+q=0二者的根關于原點對稱，因此定義r2-pr+q=0是特征方程r2+pr+q=0的對稱方程，并令m=-r1，n=-r2，則原方程為(y′-r1y)′-r2(y′-r1y)=0.

∴y′-r1y=cer2x，

∴y=er1x(∫c1er2x#8226;e-r1xdx+c2)，

∴y=c1er1x+c2er2x(r1≠r2)，(c1+c2x)erx(r1=r2).

2.二階常系數線性非齊次微分方程特解的一階線性求法

對于二階常系數線性非齊次微分方程，關鍵是求方程的特解，同上法可得y″+py′+qy=f(x)的一個特解為

y*=e-mx∫xc0e(m-n)x(∫xc0f(x)enxdx)dx，

或y*=er1x∫xc0e(r2-r1)x(∫xc0f(x)e-r2xdx)dx.

其中∫xc0f(x)dx表示f(x)的一個不含獨立常數項的原函數.m，n是對稱方程r2-pr+q=0的兩個根，容易驗證當m，n（或r1，r2）為相等、不等實根或虛根時，公式都成立.因此，在求解二階常系數線性非齊次微分方程的特解時，不妨直接應用公式，現舉例如下：

例1 求微分方程y″+y′=2cosx的一個特解.

解 特征方程r2+r=0的特征根為r1=-1，r2=0，

則∫xc0f(x)e-r2xdx=∫xc02cosxe0dx=2sinx，

∫xc0e(r2-r1)x(∫xc0f(x)e-r2xdx)dx=∫xc02exsinxdx=ex(sinx-cosx)，

∴所求特解為y*=e-x#8226;ex(sinx-cosx)=sinx-cosx.

例2 求微分方程y″-3y′+2y=4x的一個特解.

解 特征方程r2-3r+2r=0的特征根為r1=1，r2=2，

則∫xc0f(x)e-r2xdx=∫xc04xe-2xdx=4xe-2x2(ln2-1)，

∫xc0e(r2-r1)x(∫xc0f(x)e-r2xdx)dx

=∫xc0ex4xe-2x2(ln2-1)dx

=4xe-x2(ln2-1)(2ln2-1)，

∴所求特解為

y*=ex#8226;4xe-x2(ln2-1)(2ln2-1)=4x2(ln2-1)(2ln2-1).

3.一點補充

二階常系數線性非齊次微分方程特解的一階線性求法也有一定的局限性，即當特征方程為虛根時，需要用復積分知識去解決，且比較麻煩，因此發生這種情況時，還是回歸到待定系數法解決較好一些.本方法的意義一方面是提供一種解題的方法，更重要的方面是解除學生心中之疑惑，促進學生對課本方法的理解.另外，筆者在教學中還經常遇到對一階線性非齊次微分方程的常數變易法、積分因子法的質疑，此時不妨從全微分法的角度揭示，也能收到良好的效果.