針對只有高中導(dǎo)數(shù)知識基礎(chǔ)的學(xué)生直接進(jìn)行定積分教學(xué)初探

目前，不少高職高專院校高等數(shù)學(xué)總課時數(shù)被大大壓縮，如何讓新進(jìn)校并且數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱的廣大學(xué)生，有機(jī)會盡快學(xué)習(xí)到在大學(xué)一年級就將開設(shè)的許多專業(yè)基礎(chǔ)課程和專業(yè)課程所必需的定積分基礎(chǔ)知識呢？筆者經(jīng)過近幾年高職高專高等數(shù)學(xué)一線教學(xué)實(shí)踐探索后認(rèn)為：高等數(shù)學(xué)教師可參考以下要點(diǎn)設(shè)計教學(xué)方案.

教學(xué)對象：至少已具備高中文科導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及應(yīng)用等基礎(chǔ)知識的學(xué)生.

基本構(gòu)想：針對課時偏少，又需開設(shè)專業(yè)數(shù)學(xué)的實(shí)際狀況，教師不再重復(fù)講授關(guān)于一元函數(shù)的極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識，也不必講授要占用較多課時的不定積分及其運(yùn)算知識，不過分講究理論方面的嚴(yán)密性，通過引入實(shí)例進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生直接學(xué)習(xí)定積分知識及后續(xù)關(guān)于各專業(yè)的數(shù)學(xué)知識.

教學(xué)流程：復(fù)習(xí)高中已學(xué)的八個基本求導(dǎo)公式和六條基本求導(dǎo)法則→通過實(shí)例直接提出定積分的概念及牛頓-萊布尼茲公式→對比基本求導(dǎo)公式并由牛頓-萊布尼茲公式提出定積分的七個基本公式→通過實(shí)例提出定積分的幾何意義→講授定積分的九條基本性質(zhì)→定積分運(yùn)算及部分應(yīng)用配套訓(xùn)練.

簡要講義：

一、求導(dǎo)運(yùn)算基本公式和法則回顧

對此部分，任課教師可按高中現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材相應(yīng)部分，帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí).

二、定積分的概念及牛頓-萊布尼茲公式

例1 已知函數(shù)F(x)滿足F′(x)=2x，求F(2)-F(1)的值.

解 由已知F′(x)=2x，

根據(jù)基本求導(dǎo)公式與法則逆向思考（什么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于2x），易得

F(x)=x2+C（C為任意常數(shù)）.

故所求F(2)-F(1)=(22+C)-(12+C)=3.

從例1可注意到：F(2)-F(1)的值與函數(shù)F(x)=x2+C中的任意常數(shù)C取何值無關(guān)，可取C=0.

例1中，稱F(2)-F(1)=3為2x在［1，2］上的定積分.

一般來講，若函數(shù)f(x)，F(xiàn)(x)滿足F(x)在［a，b］上可導(dǎo)并且F′(x)=f(x)，則稱F(b)-F(a)為函數(shù)f(x)在［a，b］上的定積分，記為∫baf(x)dx=F(x)|ba=F(b)-F(a).

此關(guān)系式被稱為牛頓-萊布尼茲公式.

例2 計算定積分∫212xdx.

解 由牛頓-萊布尼茲公式，得

∫212xdx=∫21(x2)′dx=x2|21=22-12=3.

三、定積分的七個基本公式

以下各公式都可引導(dǎo)學(xué)生由求導(dǎo)基本公式逆向思考并由牛頓-萊布尼茲公式推得.

如右示意圖，△OAB的面積S1=12#8226;|OA|#8226;|AB|=12×2×4=4，

△OCD的面積S2=12#8226;|OC|#8226;|CD|=12×|-1|×|-2|=1.

從例3可看出， ∫2-12xdx=S1+(-S2).

一般來講，∫baf(x)dx的值等于曲線y=f(x)與直線x=a，x=b，y=0所圍圖形中，x軸上方圖形面積與x軸下方圖形面積的相反數(shù)之和.

五、定積分的基本性質(zhì)

對此部分，任課教師可按所使用的高等數(shù)學(xué)教材相應(yīng)部分，引導(dǎo)學(xué)生對其中基本、常用的性質(zhì)用牛頓-萊布尼茲公式或定積分的幾何意義進(jìn)行驗證性學(xué)習(xí).

六、為學(xué)生備好定積分運(yùn)算及部分應(yīng)用配套訓(xùn)練題

任課教師可整理出以上述牛頓-萊布尼茲公式、定積分的基本公式、幾何意義和基本性質(zhì)為解題工具的有關(guān)定積分運(yùn)算及應(yīng)用題作為例題或作業(yè)題訓(xùn)練學(xué)生.

在本文中，以上講義只是一個簡化版，在實(shí)際使用時還可再對它進(jìn)行細(xì)化和調(diào)整，使之更加完善.筆者誠懇希望本文能對新時期的高職高專高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革起到拋磚引玉的作用.

數(shù)學(xué)課堂交流——數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)生命活力的重要途徑

鄧冬華 （四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院 610068）

【摘要】數(shù)學(xué)課堂交流是新課程所倡導(dǎo)的一種重要的數(shù)學(xué)教學(xué)活動形式.文章對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的內(nèi)涵、意義和目標(biāo)以及促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂交流的策略作了探討.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)課堂交流；生命活力；教學(xué)

數(shù)學(xué)交流能力是信息時代學(xué)生的基本能力之一.數(shù)學(xué)交流，尤其是數(shù)學(xué)課堂交流，受到越來越多研究者的重視.我國高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的課程目標(biāo)中也提到：提高數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問題的能力，數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力，發(fā)展獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識的能力.可見，數(shù)學(xué)課堂交流是新課程倡導(dǎo)的一種重要的數(shù)學(xué)教學(xué)活動形式.

一、數(shù)學(xué)課堂交流的內(nèi)涵、意義和目標(biāo)

1.數(shù)學(xué)課堂交流的內(nèi)涵

安富海教授認(rèn)為，課堂交流是指在課堂教學(xué)過程中，交流主體之間有目的、有組織地進(jìn)行教學(xué)信息傳遞和反饋的行為過程，是師生之間、生生之間情感和思想的溝通過程.

數(shù)學(xué)課堂有其獨(dú)特性，主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的抽象性和應(yīng)用性.數(shù)學(xué)的抽象性要求數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要注重學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的體驗，通過課堂教學(xué)尋找數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實(shí)原型，建構(gòu)知識的意義，形成對知識的理解；數(shù)學(xué)的應(yīng)用性體現(xiàn)在利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，在應(yīng)用的過程中欣賞數(shù)學(xué)的美，感受數(shù)學(xué)文化，進(jìn)一步內(nèi)化知識，感受數(shù)學(xué)的理性思維過程，提煉數(shù)學(xué)思想方法，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì).

因此，數(shù)學(xué)課堂交流是指在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，師生之間、生生之間以數(shù)學(xué)知識為載體，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力、深化對數(shù)學(xué)知識的理解、感受數(shù)學(xué)文化、提煉數(shù)學(xué)思想方法、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)為目標(biāo)，對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法和情感態(tài)度等進(jìn)行多維度溝通的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式和教學(xué)方式.

2.數(shù)學(xué)課堂交流的意義

數(shù)學(xué)課堂交流是在新課程下順應(yīng)社會和個人的發(fā)展需要而產(chǎn)生的，它的產(chǎn)生有如下的意義：

（1）數(shù)學(xué)課堂交流作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)的一種方式，它是落實(shí)以學(xué)生為主體觀念的有力措施.數(shù)學(xué)課堂通過師生交流、生生交流，可以構(gòu)建民主和諧的師生關(guān)系，有效地避免教師獨(dú)享話語權(quán)、一言堂等現(xiàn)象的出現(xiàn).學(xué)生作為主體參與課堂，學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性得到提高.

（2）數(shù)學(xué)課堂交流為學(xué)生提高自身能力搭建了平臺.通過數(shù)學(xué)課堂交流，可以提高學(xué)生的語言表達(dá)能力和用數(shù)學(xué)交流的能力，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)和探究性學(xué)習(xí)能力的提高；通過師生之間對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法和情感態(tài)度等進(jìn)行多維度溝通，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、創(chuàng)新能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（3）在數(shù)學(xué)課堂交流中，學(xué)生親歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程，體驗數(shù)學(xué)趣味，感悟數(shù)學(xué)文化，拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)之間的距離.通過數(shù)學(xué)課堂交流，知識的意義得以生成，加深對數(shù)學(xué)知識的理解，逐步認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)，為學(xué)生學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)提供保障.

3.數(shù)學(xué)課堂交流的目標(biāo)

（1）通過數(shù)學(xué)課堂交流促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握是數(shù)學(xué)課堂交流最基本的目標(biāo).

數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)課堂交流有一定的層次.學(xué)生一般先是利用自然語言交流，然后用數(shù)學(xué)概念等交流，逐步用數(shù)學(xué)符號（或圖形）進(jìn)行數(shù)學(xué)地交流.能進(jìn)行數(shù)學(xué)符號（或圖形）交流是學(xué)生能進(jìn)行數(shù)學(xué)地交流的標(biāo)志.在此過程中，學(xué)生逐步掌握知識.

（2）學(xué)生的情感因素的參與是數(shù)學(xué)課堂交流的更高層目標(biāo).

通過課堂多維度的交流，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.全體學(xué)生參與課堂交流，增強(qiáng)學(xué)生參與課堂的主體意識，形成民主和諧的師生關(guān)系、生生關(guān)系，形成自發(fā)進(jìn)行合作交流的數(shù)學(xué)課堂文化氛圍.學(xué)生在交流過程中觸及數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)的本質(zhì).在交流的過程中，教師和學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的樂趣，享受數(shù)學(xué).

（3）數(shù)學(xué)課堂交流最高層次的目標(biāo)是讓數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)生命活力.

葉瀾教授指出：課堂教學(xué)蘊(yùn)含著巨大的生命活力，只有師生的生命活力在課堂教學(xué)中得到有效發(fā)揮，才能真正有助于新人的培養(yǎng)和教師的成長，課堂上才有真正的生活.數(shù)學(xué)是中小學(xué)生必修的科目，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是師生生命活動中的必經(jīng)階段，是生命有意義的重要組成部分.數(shù)學(xué)課堂交流只有上升到生命活力的高度才能稱之為高效的數(shù)學(xué)課堂交流，數(shù)學(xué)課堂交流是數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)生命活力的重要途徑.

二、促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂交流的策略

1.教師要轉(zhuǎn)變觀念，創(chuàng)設(shè)適宜課堂交流的氛圍

課堂交流能否順利進(jìn)行的一個關(guān)鍵因素在教師，建立民主和諧的師生關(guān)系是前提.在教學(xué)過程中，教師要給學(xué)生進(jìn)行平等對話的機(jī)會，善于選擇和把握適宜學(xué)生課堂交流的課題和時機(jī)，采取適當(dāng)?shù)脑u價方式，鼓勵學(xué)生積極參與課堂教學(xué)，形成獨(dú)特的數(shù)學(xué)課堂交流氛圍.

2.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流的能力

首先，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地進(jìn)行表達(dá)交流的能力，讓學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)的文字語言、符號語言與圖形語言之間順利地轉(zhuǎn)換，為課堂交流奠定基礎(chǔ)；其次，要培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力，敢于質(zhì)疑的精神，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，引導(dǎo)學(xué)生在交流的過程中不斷深入，觸及數(shù)學(xué)的思想方法和數(shù)學(xué)的本質(zhì).

3.采用靈活的交流形式、多樣的交流內(nèi)容進(jìn)行交流

教師需要不斷改進(jìn)教學(xué)方法，采取師生交流、生生自主交流、小組合作交流等多種交流方式讓更多的人參與.交流的內(nèi)容也應(yīng)該是多樣的，不能“掐頭去尾燒中段”.教師不僅可以引導(dǎo)學(xué)生對某一知識的理解、某一問題的解決方法、數(shù)學(xué)問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法等進(jìn)行交流，還應(yīng)讓學(xué)生交流數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實(shí)來源和具體應(yīng)用.交流不應(yīng)僅限于數(shù)學(xué)，還應(yīng)充分挖掘數(shù)學(xué)背后所隱藏的深層次的內(nèi)容，如數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理的艱辛歷程等，用這些能體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價值的內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，激勵學(xué)生對科學(xué)真理的追求.

總之，在進(jìn)行數(shù)學(xué)課堂交流時，不應(yīng)流于形式.要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂交流中加大情感的投入，進(jìn)一步深化對知識的認(rèn)識，讓教師和學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂交流中展現(xiàn)生命活力.

【參考文獻(xiàn)】

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［3］葉瀾.讓課堂煥發(fā)出生命活力——論中小學(xué)教學(xué)改革的深化［J］.教育研究，1997(9).