一道線性代數試題引發的思考

【摘要】線性相關和線性無關是《線性代數》的重要內容.本文通過一道此知識點的考試題來討論解決此類問題的方法，為將來的教學提供借鑒和幫助.

【關鍵詞】線性代數；線性無關；線性相關；向量組

線性代數是大學數學的一門基礎課，它的內容對后續課程以及工程技術、經濟管理、網絡信息都有著廣泛的應用.目前非數學專業對線性代數的教學課時安排只有36學時，甚至只有32學時.學生普遍反應有些內容抽象難懂.原因在于一些概念或者定義較抽象，特別是這里我們要討論的線性相關與線性無關的知識點.

下面我們給出一道線性無關的期末考試題來說明，判斷線性無關的各種正確方法，對一些典型錯誤解法也進行剖析，讓讀者更加準確、容易地掌握此難點.

已知向量組a1，a2，a3線性無關，且b1=2a1+a2，b2=a2+5a3，b3=4a3+3a1，試證明向量組b1，b2，b3線性無關.

解法1 把已知的三個向量等式寫成一個矩陣等式

(b1，b2，b3)=(a1，a2，a3)203110054，記作B=AK.

設Bx=0，則(AK)x=A(Kx)=0.

因為向量組a1，a2，a3線性無關，所以Kx=0.

又|K|=23≠0，那么Kx=0只有零解x=0，從而向量組b1，b2，b3線性無關.

解法2 把已知的三個向量等式寫成一個矩陣等式

(b1，b2，b3)=(a1，a2，a3)203110054，記作B=AK.

因|K|=23≠0，知K可逆，根據矩陣秩的性質可知R(A)=R(B).

因為向量組a1，a2，a3線性無關，所以R(A)=3，從而R(B)=3.故向量組b1，b2，b3線性無關.

解法3 設有x1，x2，x3，使得x1b1+x2b2+x3b3=0，即x1(2a1+a2)+x2(a2+5a3)+x3(4a3+3a1)=0，也即(2x1+3x3)a1+(x1+x2)a2+(5x2+4x3)a3=0.因為向量組a1，a2，a3線性無關，故有2x1+3x3=0，x1+x2=0，5x2+4x3=0.

由于此方程的系數行列式不等于0，故此方程只有零解（或者直接由中學的消元法可解出只有零解），故由定義知向量組b1，b2，b3線性無關.

本考題與同濟大學應用數學系編寫的教材《線性代數》第四章的例6類似.此教材第五版只給出了解法1和2，省略了第四版中的解法3.但筆者經過統計，此考題超過八成的學生采用了解法3，為什么會出現這種情況呢？下面我們對這三種方法進行剖析.

事實上，向量組線性無關常用的充要條件有下面三個，即向量組A：a1，a1，…，am線性無關等價于

①如果k1a1+k2a2+…+kmam=0(零向量），則必有k1=k2=…=km=0；

②m元齊次線性方程組Ax=0只有零解；

③矩陣A=(a1，a2，…，am)的秩等于向量的個數m.

顯然，解法3利用了充要條件①，也即根據定義直接易證.解法1與2證明時首先是把已知條件表述成矩陣形式（幾何語言轉化為矩陣語言），然后解法1利用了充要條件②把證明向量組線性無關轉化為證明齊次方程沒有零解，因而去考察方程Bx=0（幾何語言轉化為方程語言）；解法2利用充要條件③以及矩陣的有關知識得證（幾何語言轉化為矩陣語言）.

通過以上的分析可以發現解法3只要知道定義和中學的消元法就可以將幾何對象——向量組的線性無關證明出來，而解法1和2要將比較抽象的幾何對象轉化為線性代數中的方程語言和矩陣語言來證明，學生需要掌握的知識比較多.能夠利用解法1和2的學生說明對線性代數的三個重要對象比較熟練，是對學生一個比較高的要求.

最后，我們討論一下出現的問題.讀者細心的會發現向量組線性無關常用的充要條件總共有四個，也即向量組A：a1，a2，…，am線性無關等價于

④向量組A中任何一個向量都不能由其余（m-1）個向量線性表示.

解法4 (反證法)假設向量組線性b1，b2，b3相關，則存在不全為零的數k1，k2使得b3=k1b1+k2b2，即4a3+3a1=k1(2a1+a2)+k2(a2+5a3)，從而(k1+k2)a2=(3-2k1)a1+(4-5k2)a3，那么a2=3-2k1k1+k2a1+4-5k2k1+k2a3，也就是說a2可以由a1和a3線性表示，這與向量組a1，a2，a3線性無關，矛盾.結論得證.

此解法利用了第四個充分必要條件的逆否命題來證明，但遺憾的是這種證法存在錯誤.注意到充要條件④的逆否命題：向量組A：a1，a2，…，am線性相關等價于向量組A中至少存在一個向量都能由其余（m-1）個向量線性表示.這里關鍵詞是“至少”，沒有指明是哪個變量，更不是任意的變量能由其余的向量線性表示.

【參考文獻】

［1］同濟大學應用數學系.線性代數［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［2］同濟大學應用數學系.線性代數附冊學習輔導與習題選解［M］.北京:高等教育出版社，2007.

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