數列通項公式的幾種求法

【摘要】總結學習，得到數列通項公式的幾種求法，使得通項公式問題條理化、簡單化.

【關鍵詞】求數列的通項公式

高中數學中的通項公式是歷年高考中常考的問題，也是學生感到棘手的問題，在數列求和、極限中也經常用到通項公式，現就將數列通項公式的幾種常用的求法介紹于下：

1.公式法

當一個數列是等差數列或等比數列時直接用公式求得.

2.疊加、疊乘法

當一個數列{an}中an-an-1=f(n)或anan-1=f(n)時可用疊加或疊乘的方法求得.

例1 已知數列{an}中，a1=1，an=an-1+n2-n(n≥2)，求數列{an}的通項公式.

分析 ∵an-an-1=n2-n(n≥2)與n有關，但不是等差數列，因此可用疊加方法予以求得.

解 ∵an-an-1=n2-n，an-1-an-2=(n-1)2-(n-1)，…，a2-a1=22-2，

∴an-a1=(22+32+…+n2)-［2+3+…+n］=n(n+1)(2n+1)6-n(n+1)2，

∴an=n(n+1)(n-1)3+1.

3.構造法

若一個數列是連續兩項或三項的遞推數列，則可構造成等差數列或等比數列，再求其通項.

（1）a1=a，an=pan-1+r(p≠1，p，r為常數）型，它可構造成公比為p的等比數列.

例2 已知數列{an}中，a1=1，3an=4an-1+5(n≥2)，求數列{an}的通項公式.

解答 ∵an=43an-1+53，∴an+m=43(an-1+m)，∴m=5，即數列{an+5}是以a1+5=6為首項，公比為43的等比數列，an=6×43n-1-5.

（2）a1=a，a2=b，an+1=pan+ran-1(n≥2)型，它可構造成形如{an+man-1}的等比數列（但公比不一定為p）.

例3 已知數列{xn}滿足x2=x12，xn=12(xn-1+xn-2)(n≥3)，若limn→∞xn=2，求x1.

分析 此數列顯然要求出xn，再求出x1，構造新數列即得解.

解 ∵x2=x12，xn=12(xn-1+xn-2)(n≥3)，

∴設xn+mxn-1=p(xn-1+mxn-2)，即p-m=12，pm=12，得一組解為p=1，m=12，∴數列xn+12xn-1是以x2+x12=x1為首項，公比為1的等比數列（常數數列），即xn+12xn-1=x2+12x1=x1.又設xn+t=-12(xn-1+t)(n≥2)，即t=-23x1，∴數列xn-23x1是以x1-2x13=x13為首項，公比為-12的等比數列，∴xn=x13-12n-1+2x13.又limn→∞xn=2x13=2，∴x1=3.

4.和差法

若一個數列知其Sn與an的遞推關系，則可用Sn-Sn-1=an(n≥2)得解.

例4 已知數列{an}中，Sn是它的前n項和，并且Sn+1=4an+2(n∈N*)，a1=1，求{an}的通項公式.

分析 求由遞推關系給出的數列通項公式時，先對遞推關系變形，構造出一個與所求數列有關的且為等差數列或等比數列的新數列，再根據新數列的通項公式求出所求數列的通項公式

解 ∵Sn+1=4an+2，①

∴Sn+2=4an+1+2.②

②-①，得an+2=4an+1-4an.

∴an+2-2an+1=2(an+1-2an)，

∴數列{an+1-2an}是首項為a2-2a1=3，公比為2的等比數列，

∴an+1-2an=3#8226;2n-1 ，∴an+12n+1-an2n=34，

∴數列an2n是首項為a12=12，公比為34的等差數列，

∴an2n=12+(n-1)#8226;34=34n-14，

∴an=(3n-1)#8226;2n-2.

5.猜測法

若一數列可用遞推關系求出數列的a1，a2，a3，a4等，則可用觀察數列項與項數的關系，猜測出an，再用數學歸納法證明.

例5 已知數列{an}滿足a1=1，an=3n-1#8226;an-1(n≥2).

（1）求a2，a3，a4.

（2）求{an}的通項公式.

解答 （1）易得a2=3，a3=27，a4=729.

（2）由（1）可猜測an=3n(n-1)2，下面用數學歸納法證明.

①當n=1時顯然成立.

②假設n=k時成立，即ak=3k(k-1)2(n≥2).

∵ak=3k-1#8226;ak-1，∴ak+1=3k#8226;ak=3k#8226;3k(k-1)2=3k(k+1)2=3(k+1)［(k+1)-1］2.

這就是說當n=k+1時成立，由①②可知對于n∈N*都成立.