如何解決立體幾何問題

立體幾何是江蘇省高考的一個重點內容，從《教學要求》來看其重點為線線、線面、面面的垂直、平行的證明，以及表面積、體積的運算問題.下面以例題來說明解題中的常見難點及突破方法.

例1 某幾何體的三視圖（如圖所示），根據圖中標出的數據，可得這個幾何體的表面積為（）.

A.4+43

B.4+45

C.83

D.12

解析 解決本題關鍵是通過三視圖看出立體結構是底面邊長為2，高為2的正四面體.所以表面積為4+45.

方法 現在高考三視圖所對應的立體圖由常見的長方體、椎體等幾何體構成，可以通過直接考慮常見幾何體的三視圖來印證三視圖及推出立體圖.

例2 （2008年#8226;江蘇改）在四面體ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，且E，F分別是AB，BD的中點，求證：面EFC⊥面BCD.

分析 本道題解決的關鍵是能通過EF∥AD，AD⊥BD轉化為BD⊥EF.

證明 ∵EF∥AD，AD⊥BD，

∴EF⊥BD.

又 ∵CD=CB，FB=FD，

∴CF⊥BD.

由EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC.

又 BD面BCD，∴面EFC⊥面BCD.

方法 利用空間直線的平移不改變所成的角的大小可以轉變有關的線、面關系.類似可以等價轉化的依據還有：兩個平面同時垂直一條直線，兩平面平行；一條直線平行一個平面，這條直線上所有的點到平面的距離相等等.

例3 如圖，四邊形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB=AB=2MA.求證：平面PMD⊥平面PBD.

分析 連接BD，AC交于點E，取PD中點F，連接EF，MF，證明MF⊥平面PBD即可.

證明 連接BD，AC交于點E，取PD中點F，連接EF，MF，則點E為BD中點，AE⊥BD.

由PB⊥平面ABCD，可得PB⊥PD，PB⊥AB.由MA⊥平面ABCD，可得MA⊥AD.由PB=AB=2MA，可得MD=MP.

由F點為PD中點，∴MF⊥PD.在△PBD中，EF∥BP，EF=12BP.由PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB=AB=2MA，可得MAEF為矩形，即MF⊥EF.由EF，PD平面PBD，且PD∩EF=F，∴MF⊥平面PBD.又∵MF平面MPD，∴平面PMD⊥平面PBD.

方法 本道題難點是平面PMD內垂直平面PBD的直線不容易找，常見解決方法是應用面面垂直的性質，作出垂直于交線的直線MF；當然，也可從條件PB=AB=2MA中找出MD=MP，找到輔助點PD的中點F，構建直線MF.

例4 如圖，AC是⊙O的直徑，點B在圓周上，SA⊥平面ABC，AN⊥SB于N，AM⊥SC于M，求證：MN⊥SC.

證明 連接MN，AB(圖略).

在⊙O中有AC為直徑，B為圓周上的點，可得AB⊥BC.又SA⊥平面ABC，BC平面ABC，可得SA⊥BC.∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AN.又∵AN⊥SB，∴AN⊥平面SBC，∴AN⊥SC，∴SC⊥平面AMN，∴MN⊥SC.

方法 熟練應用空間中的有關線面條件的推導方法，基本的有下列兩條：（1）線線平行線面平行面面平行；（2）線線垂直線面垂直面面垂直.

例5 棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在點P使B1D⊥面PAC？

解析 以D為原點建立如圖所示的坐標系，設存在點P（0，0，z），AP=(-a，0，z)，AC=(-a，a，0)，DB1=(a，a，a)，∵B1D⊥面PAC，∴DB1#8226;AP=0，DB1#8226;AC=0.∴-a2+az=0，∴z=a，即點P與D1重合.∴點P與D1重合時，DB1⊥面PAC.

方法 對于一些探索性的問題，我們可以建立適當的空間坐標系，借助向量工具，通過計算的方式來說明.這種方法可以有效地避免由于空間的不熟悉而無從下手的情況.

要解決好立體幾何問題，要加強對數學命題的理解，學會靈活運用數學命題解決問題.對數學的公理、定理的理解和應用，突出反映在題目的證明和計算上.需要避免證明中出現邏輯推理不嚴密，運用定理、公理、法則時言非有據，或以主觀臆斷代替嚴密的科學論證，書寫格式不合理，層次不清，數學符號語言使用不當，不合乎習慣等，提高應用定理分析問題和解決問題的能力.這常常體現在遇到一個幾何題以后，不知從何下手.對于習題，我們首先需要知道：要干什么（要求的結論是什么），哪些條件能滿足要求，這樣一步一步往前找條件.當然這要根據具體情況，需要多看習題，但必要的練習是不可以缺少的.