如何引導學生解決二項式定理的運用錯誤

【摘要】二項式定理作為高考內容之一，在每年的對口單招考試中都能考到，而學生在解題過程中經常會出現這樣或那樣的錯誤.本文將學生在解答二項式定理問題過程中容易出現的錯誤列舉出來，分析錯誤產生的原因，以幫助學生更好地掌握這部分內容.

【關鍵詞】定理；錯誤；題型；正確應用

二項式定理作為高考內容之一，在每年的對口單招考試中都能考到，題型多為選擇題或填空題，偶爾也會出現大題.在二項式定理的習題中，題型繁多，解法靈活多變且很獨特，學生較難掌握；又由于排列、組合是二項式定理的基礎，而排列、組合的概念又比較抽象，涉及的知識面較廣，這給學生學習二項式定理增加了一定的難度，導致學生對二項式定理不理解，所以在解題過程中常常會出現這樣或那樣的錯誤.本文將學生在解答二項式定理問題過程中容易出現的錯誤列舉出來，以幫助學生更好地掌握這部分內容，避免類似錯誤再次發生.

1.用“二項展開式”的錯誤解題

求二項展開式中的題型有“(x+y)n”型、“(x-y)n”型及二項展開式的“逆用”題型等，這類題目一般為容易題.由于學生“問題轉化”能力不強，沒有深刻理解二項展開式的公式，沒有把握公式的本質，所以解決此類問題往往會出現錯誤的解法.

例1 求3x-1x24的展開式.

錯解 3x-1x24

=C04(3x)4+C14(3x)31x21+

C24(3x)21x22+C34(3x）11x23+C441x24

=x43+4x-2+6x-103+4x-173+x-8.

分析 學生解答此題時忘記了二項式中的“-”號.正確解答此題，只需把3x-1x24改寫成3x+-1x24的形式，然后根據二項展開式的格式展開即可.正確的結果為：x43-4x-2+6x-103-4x-173+x-8.

2.用“通項公式”的錯誤解題

通項公式Tk+1=Cknxn-kyk(說明：按x的降冪排列）中的Tk+1，Ckn，k，n的含義及變化規律，是二項式定理的核心.常見的題型有：利用通項公式確定展開式中的常數項、二項式中指定冪的系數、確定二項式中的相關元素等.不少學生由于對公式本質理解得不夠或思考不夠嚴密，導致在解題過程中出現錯解或誤解.

例2 已知3x+1x2n展開式中第2，3，4項（按前項降冪排列）的系數成等差數列，求項數n.

錯解 由于第2，3，4項的系數分別為C2n，C3n，C4n，

∴2C3n=C2n+C4n，解得n=11.

分析 此題的錯解在于學生沒理解二項式項數的系數與二項式系數之間的內在聯系，以至于產生了錯解.學生只要掌握了二項式項數的系數與二項式系數的關系，理解它們之間的內在聯系，此題便可迎刃而解.

解 由于第2，3，4項的系數分別為C1n，C2n，C3n，

∴2C2n=C1n+C3n，解得n=7.

3.用“條件項”的錯誤解題

所謂“條件項”，即為題目中“所限定某個條件的項”，根據題目要求只要求出“限定項”即可.由于學生對二項展開式理解不夠或思考不嚴密，往往會出現少算或多算“限定項”，導致解題錯誤.

例3 求(x2+1)(x-1)6的展開式中x4項的系數.

錯解 ∵x4項的系數為C26x4(-1)2，

∴x4項的系數為15.

分析 由于學生對x4的來源有誤解，認為(x2+1)中沒有x4項，所以就不再考慮這個因式了，只考慮(x-1)6這個因式.關于x4的來源，應從兩個因式來綜合考慮：

當第一個因式(x2+1)取1時，則第二個因式(x-1)6中必取x4，其系數為C26x4(-1)2=15.

當第一個因式(x2+1)取x2時，則第二個因式(x-1)6中必取x2，其系數為C46x2(-1)4=15.

所以，x4項的系數為30.

4.用“二項式系數”的錯誤解題

二項式系數與二項式某項的系數是兩個截然不同的概念，由于學生對這兩個概念理解不透，在解題時往往會混淆這兩個概念，以至于出現了錯誤的解題方法.

例4 在(x-y)7的展開式中，求系數最大的項.

錯解 ∵(x-y)7的展開式中有8項，

∴(x-y)7的展開式中中間兩項系數最大，即為第4，5項.

∴所求系數最大的項為：第4項-C37x4y3或第5項C47x3y4.

分析 此題解法錯誤在于混淆了二項式系數與二項式某項系數的概念，正確的解法為：由于第4項的系數為負數，所以第5項的系數最大，所求系數最大的項為：第5項C47x3y4.

說明 由于二項式(x+y)n的二項式系數為C0n，C1n，C2n，…，Cnn，當n為偶數時，中間項Cn2nxn2yn2的二項式系數最大；當n為奇數時，中間項Cn-12nxn+12yn-12和Cn+12nxn-12yn+12的二項式系數最大，二項式系數的奇數項和等于偶數項和，(x+y)n二項式系數的和等于2n.

5.用二項式定理求“近似值”的錯誤解題

學生在解決此類問題時，由于掌握不準計算的范圍，往往使得計算非常復雜和繁瑣，最后導致計算結果出錯.

例5 求1.0026的近似值，使誤差小于0.001.

解 ∵1.0026=(1+0.002)6

=1+C16（0.002）+C26(0.002)2+ C36(0.002)3+…+(0.001)6，

又 ∵從第3項起，以后的項都可以忽略不計，

∴1.0026=(1+0.002)6≈1+6×0.002=1.012.

說明 對于(1+x)n=1+C1nx+C2nx2+C3nx3+…+Cnnxn，當x的絕對值與1相比很小且n很大時，x2，x3，x4，…，xn項的絕對值都很小，因此在精確度允許的情況下可以忽略不計.因此可以利用近似計算公式(1+x)n≈1+nx來計算，如果精確度要求高一些，可以用公式(1+x)n≈1+nx+n(n-1)2x2來計算.解題時用哪一個公式，主要取決于精確度的要求.

6.用“賦值法”的錯誤解題

由于二項展開式是恒等式，所以二項式(x+y)n對于任意的x，y都成立.學生在用“賦值法”時，往往找不準待求代數式與已知條件的聯系，盲目地找一些數進行代替，導致錯誤的解法.

例6 已知(3x-1)10=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0，求a10+a9+a8+…+a2+a1的值.

解 令x=0，則有a0=1.

令x=1，則有a10+a9+a8+…+a1+a0=210.

∴a10+a9+a8+…+a2+a1=210-1=1023.

例7 若(3x+22)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5+a7)2的值.

解 令x=1，則有(3+22)7=a0+a1+a2+…+a7.

令x=-1，則有

(-3+22)7=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7).

故(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5+a7)2=(-1)7=-1.

說明 在用“賦值法”求值時，要找準待求代數式與已知條件的內在聯系，賦予二項式中變量適當的值即可.一般而言，“1，0，-1”這三個特殊值在解題過程中考慮得較多.

總之，認識二項式定理常見解題錯誤與產生原因，并能針對錯因采取相應的措施，則必能激發學生的學習興趣，促進學生對知識的理解和掌握，同時也能夠幫助學生達到“練中求勝”的良好效果.