淺談與三種圓錐曲線均相關的知識點

【摘要】從5個方面總結與三種圓錐曲線均相關的知識點，揭示數學內在的本質規律，體現運用數學思想方法解決問題.

【關鍵詞】橢圓；雙曲線；拋物線；軌跡

圓錐曲線主要研究橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程及幾何性質.現將與三種圓錐曲線均相關的知識點總結如下：

一、第二定義

三種圓錐曲線有統一的第二定義，即平面內的動點滿足到定點和定直線的距離比為同一常數.若此常數在0~1之間，軌跡為橢圓，大于1軌跡為雙曲線，等于1軌跡是拋物線.

二、應 用

例1 求焦點為(2，3)，準線是x+6=0的拋物線方程.

解 設拋物線上任一點坐標為(x，y)，

根據拋物線的第二定義，則拋物線方程為(x-2)2+(y-3)2=|x+6|，∴兩邊平方后，得(y-3)2=16(x+2).

三、弦長公式

三種圓錐曲線統一的弦長公式為|AB|=1+k2#8226;(x1+x2)2-4x1x2（k為弦AB所在直線的斜率）.

例2 已知斜率為1的直線l過橢圓x24+y2=1的右焦點，交橢圓于A，B兩點，求弦AB的長.

解 設AB的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，

聯立方程組y=x-3，x24+y2=1，

得關于x的一元二次方程5x2-83x+8=0.

由韋達定理，得x1+x2=825，x1x2=85.

根據弦長公式，

|AB|=1+k2#8226;(x1+x2)2-4x1x2=85.

四、對稱問題

在解析幾何中，我們常遇到這樣的題型，確定參數的范圍，使得對于直線l：圓錐曲線上有不同的兩點關于直線l對稱.

例3 已知橢圓C：3x2+4y2=12，試確定m的取值范圍，使得對于直線l：y=4x+m在橢圓上有不同的兩點關于這條直線對稱.

答案 -21313

五、點差法

針對已知圓錐曲線的一條弦的中點坐標，求弦所在的直線方程這樣的題，不管是橢圓、雙曲線、拋物線均可用點差法求得直線斜率，進而求直線方程.

例4 已知橢圓x216+y24=1，求以點P（2，1）為中點的弦所在的直線方程.

答案 x-2y-4=0.

解析幾何這部分知識歷來是高中數學的難點，教師在備課的時候，應在定義引入、剖析、運用上下工夫，教學時，展示知識的發生發展過程，體現數學的數學方法，對學生的的進步與發展將會起到不可估量的作用.