培養類比意識,提高數學思維能力

【摘要】新《〈課標〉解讀》指出：數學教育應為學生的終身發展作準備，要求教師不僅要教學生知識，更要讓學生學會學習，使其在未來的認識歷程中能依靠自主探索，主動學習而獲取知識；類比作為合情推理的一種常用方式，具有發現命題、探索解題思路，擴展知識領域，促進知識的掌握與遷移，啟迪思維、發展數學能力的作用.本文通過類比的幾個著力點以及類比解題中需要注意的兩個問題的展示，以期學生能更好地認識類比的特點和作用，從而正確地理解和運用這些方法，達到從整體上提高數學思維能力的目的.

波利亞曾經說過：類比是一個偉大的引路人.所謂類比，就是根據兩個對象的某些屬性的相同或相似，推導它們的其他屬性也可能相同或相似的推理方法.類比是創造性的邏輯思維方式，有利于開闊學生的視野，培養學生發現問題和創造性地解決問題的能力，是高考中的熱點題型.但是，如何引導學生進行類比呢？在日常教學中，經常會遇到具有探究價值的小問題，教師若能及時捕捉，將類比題型及方法展示給學生，同時啟發學生遇到新問題時，有意識地與原有的知識結構多方面進行類比，善于發現問題間、知識間的異同點，使學生的學習過程成為教師引導下的“再創造”過程，這對激發學生興趣、提升學習能力、挖掘學習潛能是很有幫助的.本文試以一些具體的實例為載體，感受類比在問題探究中的魅力.

一、類比的幾個著力點

1.概念類比

例1 設集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定義運算為AiAj=Ak，其中k為i+j被4除的余數，i，j=0，1，2，3，則滿足關系式(xx)A2=A0的x(x∈S)的個數為.

解 ∵(xx)A2=A0，由x∈S，有xx=Ak，即有AkA2=A0，∴k=2，即有xx=A2，則x=A1或x=A3.

點評 解題的關鍵是正確理解兩個定義AiAj=Ak與(xx)A2=A0，注意到x∈S，按照定義進行運算.本題主要考查學生的理解能力和知識遷移能力.

2.模式類比

例2 若f(x+m)=3+f(x)1-3f(x)對于正常數m和任意實數x都成立，判斷f(x)是否為周期函數.

證明 題目的結構與tanx+π3=3+tanx1-3tanx相似，而y=tanx的最小正周期T=π.因此，我們猜測f(x)為周期函數，其周期為3m.

∵f(x+m)=3+f(x)1-3f(x)，

∴f(x+2m)=f［(x+m)+m］

=3+f(x+m)1-3f(x+m)=f(x)-31+3f(x)，

∴f(x+3m)=f［(x+2m)+m］=3+f(x+2m)1-3f(x+2m)=f(x).

故f(x)是周期為3m的函數.

點評 根據題目的模式，類比正切公式，由正切函數的周期猜想f(x)的周期，針對目標有的放矢地進行證明.

3.方法類比

例3 設f(x)=12x+2，利用課本中推導等差數列前n項和公式的方法，可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值為.

解 課本中推導等差數列前n項和的公式的方法是“倒序求和法”，考慮到題目的結構形式，有

f(-x+1)+f(x)=12-x+1+2+12x+2

=2x2×2x+2+12x+2

=2x+22(2x+2)=22，

∴原式=22×6=32.

4.性質類比

例4 定義在R上的函數f(x)既是奇函數，又是周期函數，T是它的一個周期.若將方程f(x)=0在閉區間［-T，T］上的根的個數記為n，則n可能為.

分析 在解決抽象函數問題時，可以類比具體的函數的性質，從而得出結論.本題類比正弦函數y=sinx，滿足題設的條件，觀察它在［-2π，2π］上的圖像與x軸的交點個數，即可得sinx=0在［-2π，2π］上的根的個數為5.

5.結構類比

例5 求函數y=1+3x+41-x+4的值域.

解 令λ=-x+4，則λ≤0，而y=1+(-3)λ1+λ.

顯然λ是P(y，0)分有向線段P1P2所成的比，其中P1(1，0)，P2(-3，0)，

∴λ=y-1-3-y≤0，解得y<-3或y≥1.

故函數的值域為(-∞，-3)∪［1，+∞).

點評 此題若直接變形求值域難以下手，若先作一個變換，令λ=-x+4，再將y=1+(-3)λ1+λ與定比分點公式聯系起來，利用λ≤0便可求出y的范圍.

此外還有升維類比、關系類比等等.

二、類比需要注意的問題

1.形似神異問題

世界上沒有絕對相同的兩個事物，哪怕是外形極為相像的孿生兄弟，也不是真正意義上的數學的“全等”，其在生活習慣、性格、氣質等方面均有一定的差異.這差異很小，要想準確識別這些差異，就必須抓住其個性化特征，找到有別于其他事物的“蛛絲馬跡”，對數學研究而言，更是如此.教師需要通過“形似”問題研究，進行歸納、思辨，在似與不似之間找出“神異”，提高學生欣賞、鑒別的水平和分析、解決問題的能力，激發學生探究熱情，完善、優化其認知結構.

例6 比較以下兩小題：

（1）已知曲線y=13x3上一點P2，83，求在點P的切線方程.

（2）已知曲線y=13x3上一點P2，83，求過點P的切線方程.

分析 兩個小題僅一字之差，意義卻完全不同.雖然點P在曲線上，但（1）中是以點P為切點，求切線方程；（2）中是求過點P的切線方程，點P不一定是切點.那么解題方法就不同了.

點評 數學中有許多問題，形式相似，但實質不同，有時因一個字或符號的差別，就很可能導致所需知識和解題方法的不同.學生在解決此類問題時，極易產生思維誤區，造成解題失誤.通過類似題目的不完全類似甚至截然相反的解法訓練和思辨，可以使學生達到舉一反三、觸類旁通的目的，取得事半功倍的效果.正確處理形似質異問題，不僅能加深和鞏固學生對基本知識、基本方法的領會和掌握，還可以培養和提高學生嚴謹的邏輯思維和辨異思維能力.

2.形異質同問題

有些事物的表象雖相去甚遠，但本質上卻“同宗同族”，差異盡管不小，卻具有內在的同一，這在數學研究中不乏其例，通過對這類問題的研究，可從個性中尋找共性，培養學生思維的深刻性和廣闊性，意義非凡.

例7 （1）上一個n級臺階，每次可上一級或兩級，設上法的種數為f(n)，試求f(n)關于n的函數解析式.

（2）一對小兔子一個月后是一對成熟的大兔子，再過一個月一對大兔子繁殖一對小兔子，現有一對成熟的兔子.問：第n個月末，兔子最多有多少對？

兩相對比，發現問題的結構、條件“毫不相干”，一個是“上樓問題”，一個是“兔子繁殖問題”，二者的共同點是同歸數列問題.

關于“上樓問題”，對n級臺階，上法種數為f(n)；對（n+1）級臺階，上法種數為f(n+1)；對于（n+2）級臺階，考慮最后一步走法，問題分為兩類：若是走一級，前面已是（n+1）級，共有走法f(n+1)；若最后走兩級，則前面已是n級，走法是f(n)，所以對于（n+2）級共有走法是f(n)+f(n+1).當n≥3時，f(n)=f(n-2)+f(n-1)，即從第三項起，任一項等于前兩項之和.

對于兔子繁殖問題，我們可以這樣理解：第n月末，兔子的總對數首先是上月末的總對數f(n-1)加上本月末新生的對數，而能在本月末產下小兔子的成熟兔的對數應該是前月末兔子的對數，該為f(n-2)，因此本月末的總對數是前兩個月末的對數之和，依然有f(n)=f(n-2)+f(n-1).

評注 以上兩個問題可謂“同宗同族”，其共同之處就在思維方法上，即都要考慮前兩次的情形.對于“兔子繁殖”問題，本月末兔子是上月末兔子數加上新生對數，而新生對數就是前月末兔子的對數，因而本月末兔子的對數與前兩個月有關；對于“上樓問題”，從（n-1）級增加到n級后，考慮最后一步是走一級或是兩級，共兩種選擇，要走一級，則前面的（n-1）走法已定，是f(n-1)；若最后走兩級，則前面的（n+2）走法已定，是f(n-2)，兩類問題的結果都是f(n-2)+f(n-1)，都歸并到“斐波那契數列”上.關于“斐波那契數列”的求解方法也有很多種.第一，借助遞推數列求解通項；第二，利用排列組合公式求解；第三，利用矩陣方法求解……

綜上所述，類比有助于促進學生自主探索、深入研究，是學習數學、發現問題、創造性地解決問題的必不可少的思維形式，在數學教學中有著重要的教育價值.因而，教師應注意培養學生的類比意識，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗，從而提高數學思維能力.