淺談復合函數的求導方法

【摘要】復合函數求導法是求導的重中之重，這個問題解決的好壞直接影響到換元積分法.求復合函數的導數，關鍵在于搞清楚復合函數的結構，明確復合次數，由外層向內層逐層求導，直到關于自變量求導，同時應注意不能遺漏求導環節并及時化簡計算結果.

【關鍵詞】復合函數；求導；方法

微積分是高等數學的重要內容.復合函數求導法是微積分的重點也是難點.所以“復合函數求導法”教學效果的好壞就顯得尤為重要.復合函數的導數是導數的重點，也是導數的難點，要弄清每一步的求導是哪個變量對哪個變量的求導，求導時對哪個變量求導要寫明.可以通過具體的例子，讓學生對求導法則有一個直觀的了解.

引例 求函數y=(3x-2)2的導數.

方法一 y′x=［(3x-2)2］′=(9x2-12x+4)′=18x-12.

方法二 將函數y=(3x-2)2看作函數y=u2和函數u=3x-2的復合函數，并分別求對應變量的導數：

y′u=(u2)′=2u，u′x=(3x-2)′=3.兩個導數相乘，得y′uu′x=2u#8226;3=2(3x-2)#8226;3=18x-12，從而有y′x=y′u#8226;u′x.

對于一般的復合函數，結論也成立.以后我們求y′x時，就可以轉化為求y′u和u′x的乘積，關鍵是找中間變量，隨著中間變量的不同，難易程度不同.

1.復合函數的求導法則

設函數u=φ(x)在點x處有導數u′x=φ′(x)，函數y=f(u)在點x的對應點u處有導數y′u=f′(u)，則復合函數y=f(φ(x))在點x處也有導數，且y′x=y′u#8226;u′x或f′x(φ(x))=f′(u)φ′(x).

證明 設x有增量Δx，則對應的u，y分別有增量Δu，Δy，因為u=φ(x)在點x可導，所以u=φ(x)在點x處連續.因此當Δx→0時，Δu→0.

當Δu≠0時，由ΔyΔx=ΔyΔu#8226;ΔuΔx，且limΔx→0ΔyΔu=limΔu→0ΔyΔu，

∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0ΔyΔu#8226;ΔuΔx

=limΔx→0ΔyΔu#8226;limΔx→0ΔuΔx

=limΔu→0ΔyΔu#8226;limΔx→0ΔuΔx，

即y′x=y′u#8226;u′x(當Δu＝0時，也成立).

說明 復合函數對自變量的導數，等于已知函數對中間變量的導數，乘以中間變量對自變量的導數.

2.復合函數求導的基本步驟

分解——求導——相乘——回代.

例1 求y=(2x+1)5的導數.

解 設y=u5，u=2x+1，則

y′x=y′u#8226;u′x=(u5)′x#8226;(2x+1)′

=5u4#8226;2=5(2x+1)4#8226;2=10(2x+1)4.

注意 在利用復合函數的求導法則求導數后，要把中間變量換成自變量的函數.有時復合函數可以由幾個基本初等函數組成，所以在求復合函數的導數時，先要弄清復合函數是由哪些基本初等函數復合而成的，特別要注意將哪一部分看作一個整體，然后按照復合次序從外向內逐層求導.

例2 求f(x)=sinx2的導數.

解 令y=f(x)=sinu，u=x2.

∴y′x=y′u#8226;u′x=(sinu)′u#8226;(x2)′x

=cosu#8226;2x=cosx2#8226;2x=2xcosx2.

∴f′(x)=2xcosx2.

例3 求y=sin22x+π3的導數.

分析 設u=sin2x+π3，求u′x，但此時u仍是復合函數，所以可再設v=2x+π3.

解 令y=u2，u=sin2x+π3，

再令u=sinv，v=2x+π3.

∴y′x=y′u#8226;u′x=y′u(u′v#8226;v′x).

∴y′x=y′u#8226;u′v#8226;v′x=(u2)′u#8226;(sinv)′v#8226;2x+π3′x

=2u#8226;cosv#8226;2=2sin2x+π3cos2x+π3#8226;2

=4sin2x+π3cos2x+π3=2sin4x+2π3.

即y′x=2sin4x+2π3.

例4 求函數y=1(1-3x)4的導數.

解 y=1(1-3x)4=(1-3x)-4.

設y=u-4，u=1-3x，則

y′x=y′u#8226;u′x=(u-4)′u#8226;(1-3x)′x

=-4u-5#8226;(-3)

=12u-5=12(1-3x)-5=12(1-3x)5.

說明 ①求復合函數的導數的關鍵，在于分清函數的復合關系，適當選取中間變量.本題如果選成y=u-1，u=（1-v）4，v=3x就復雜了.

②要弄清楚每一步求導是哪個變量對哪個變量求導，不要混淆.

③在熟練掌握公式后，不必再寫中間步驟.如此例的解題過程可以直接寫成：

y′x=［(1-3x)-4］′

=-4(1-3x)-5#8226;(-3)=12(1-3x)-5

=12(1-3x)5.

例5 求y=5x1-x的導數.

解 y=x1-x15，

y′=15x1-x-45#8226;x1-x′

=15x1-x-45#8226;1-x-x(-1)(1-x)2

=15x1-x-45#8226;1(1-x)2

=15x-45(1-x)-65.

例6 求y=(x2－3x+2)2sin3x的導數.

解 y′=［(x2－3x+2)2］′sin3x+ (x2－3x+2)2(sin3x)′

=2(x2－3x+2)(x2－3x+2)′sin3x+ (x2－3x+2)2cos3x(3x)′

=2(x2－3x+2)(2x－3)sin3x+ 3(x2－3x+2)2cos3x.

總之，在利用復合函數的求導法則求導數后，要把中間變量換成自變量的函數.有時復合函數可以由幾個基本初等函數組成，所以在求復合函數的導數時，先要弄清復合函數是由哪些基本初等函數復合而成的，特別要注意將哪一部分看作一個整體，然后按照復合次序從外向內逐層求導.同時注意與和、差、積、商運算法則相結合.