如何學好銳角三角函數

銳角三角函數是研究初等數學的基礎知識，在物理、化學等學科里都有廣泛的應用，掌握銳角三角函數的概念及性質更是學好解直角三角形的關鍵，因此學習時應注意掌握以下幾個要點：

一、熟練掌握銳角三角函數的定義

研究銳角三角函數的定義時，是將銳角放在直角三角形中給出的，即在Rt△ABC中，∠C=90°，銳角∠A的正弦、余弦、正切、余切函數分別記作sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab，cotA=ba.由此可見，銳角三角函數值是一個比值，四個三角函數值隨角度的變化而變化.當銳角確定時，它的四個三角函數值也就確定了.

例1 在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，則sinA的值是().

A.513

B.1213

C.512

D.125

簡析 在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，所以sinA=BCAB=513.故選A.

二、熟練掌握特殊角的三角函數值

對于任意角的三角函數值都可以利用計算器求得，但對于特殊角（即0°，30°，45°，60°，90°）的三角函數值應當熟練掌握，這樣便于運用它們進行計算、求值或解直角三角形.

例2 計算sin230°-cos45°#8226;tan60°.

簡析 由特殊角的三角函數值，可得

sin230°-cos45°#8226;tan60°=122-22×3=1-264.

三、熟練掌握銳角三角函數的有關性質

銳角三角函數主要有以下幾個重要性質：

1.如果0°<α<90°，那么00，cotα>0.

2.如果0°<α<β<90°，那么sinαcotβ.

3.（1）如果0°<α<45°，那么sinα

（2）如果45°<α<90°，那么sinα>cosα，tanα>cotα.

例3 在①0cos78°，③sin0°>tan45°，④sin25°=cos65°這四個式子中，正確的是().

A.①③

B.②④

C.①④

D.③④

簡析 由于0°≤α≤90°，則0≤cosα≤1，所以淘汰①.由于45°<78°<90°，所以sin78°>cos78°成立.又sin0°=0，tan45°=1，所以③sin0°>tan45°不正確，所以又淘汰③.而sin25°=sin(90°-65°)=cos65°，所以sin25°=cos65°成立.故應選B.

四、銳角三角函數的應用

掌握仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等概念.能根據題意在所給的圖形（或根據題意自己畫出圖形）中恰當地構造直角三角形，運用解直角三角形（有時還需要借助方程）的有關知識解決實際問題.能夠運用解直角三角形的有關知識，動手設計解決現實生活中的測量高度、長度的方案.能夠解決與解直角三角形有關的綜合性問題和探索性問題.

圖 1

例4 如圖1，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB.已知AB=43，那么AD=.

解析 在Rt△ABC中，易知∠1=∠2=∠3=30°，AC=AB#8226;sin30°=43×12=23.

在Rt△ACD中，cos30°=ACAD，

故AD=ACcos30°=4.

例5 如圖2，一輪船原在A處，它的北偏東45°方向上有一燈塔P，輪船沿著北偏西30°方向航行4小時到達B處，這時燈塔P正好在輪船的正東方向上，已知輪船的航速為25海里／時，求輪船在B處時與燈塔P的距離.（結果可保留根號）

圖 2

圖 3

解析 如圖3，構造兩個直角三角形——△ABC和△APC，運用直角三角形中的邊角關系求出CB和CP，然后相加即可.

CB=AB#8226;sin30°=4×25×12=50（海里），

CP=CA=AB#8226;cos30°=4×25×32=503（海里），

所以PB=CB+CP=（50+503）(海里).