函數定義域的地位與作用

函數作為高中數學的主要內容，貫穿于整個高中教學的始終，也是高考中考查的重點.函數的定義域是函數的重要要素之一，在函數部分有很重要的地位，它是研究函數關系式、值域、單調性、奇偶性的基礎.本文就蘇教版必修1教材中第一章函數部分定義域與其他內容間的聯系作簡單研究.

一、定義域和函數解析式

函數定義中，非空數集A中的元素根據對應法則與非空數集B中的元素產生了對應，故定義域又稱為自變量的取值范圍.

我們在談函數的時候離不開定義域和對應法則，定義域應該放在對應法則之前考慮.我們在教學及學生在學習中都偏向于對應法則，即更為直觀的解析式，實際上離開定義域談函數就成了空中建樓閣.

例1 判斷函數y=|x|與函數y=(x)2是否為同一函數.

解 ∵函數y=|x|的定義域為R，函數y=(x)2的定義域為［0，+∞)，

∴函數y=|x|與函數y=(x)2不是同一函數.

函數關系式包括定義域和對應法則，定義域是函數關系式的重要組成部分，所以在求函數的關系式時必須考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能會出錯.

例2 現有一根鐵絲長60 cm，欲圍成一個矩形，求圍成矩形的最大面積S.

解 設矩形的長為x cm，則寬為(30－x) cm。由題意，得S=x(30-x)，S=-x2+30x，當x=15時，Smax=225.

作為一個簡單的應用題，采用如此做法得到了正確的結果，實則存在大大的漏洞，函數關系式還不完整，缺少自變量x的范圍，也就是說數學離開了生活.因為當自變量x取大于30的數時，根本不能圍成矩形，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍0

在用函數方法解決實際問題時，必須注意函數定義域的取值范圍對實際問題的影響.

二、定義域對函數最值、值域的影響

函數的最值在教材中是這樣介紹的：一般地，設y=f(x)的定義域為A，若存在x0∈A，使得對于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，那么f(x0)為函數的最大值（最小值）.所以說最值指的是定義域上的最值，脫離定義域討論最值、值域是沒有意義的.

例3 求函數y=x2-2x在［－2，5］上的最值、值域.

錯解 ∵y=x2-2x=(x2-2x+1)-1=(x-1)2-1，

∴當x=1時，ymin=-1，值域為［-1，+∞).

本題是一個簡單的二次函數給定范圍求最值的問題，學生容易犯一個錯誤，誤認為最小值為-1，無最大值.產生這種錯誤的根源在于忽略了函數的定義域，仍然認為定義域為R，而沒有注意到已知條件發生變化.

∵-2≤1≤5，

∴f(-2)=(-2)2-2×(-2)=0，f(5)=52-2×5=15.

∴f(x)max=max{f(-2)，f(5)}=f(5)=15.

∴函數y=x2-2x在［－2，5］上的最小值是-1，最大值是15，值域為［-1，15］.

例4 求函數y=x+2x-3的最值、值域.

解 令x-3=t，則x=t5+3，y=t2+2t+3=(t+1)2+2≥2，

∴ymin=2，無最大值，值域為［2，+∞).

本題最大的錯誤在于換元時引入了新的變量t，卻沒有對其范圍加以說明，也就是換元后的函數失去了應有的定義域.對于函數y=t2+2t+3應有t≥0，函數在［0，+∞)單調遞增，故最小值為3，無最大值，值域為［3，+∞).

三、定義域前提下的函數單調性、奇偶性

函數單調性是函數的第一個重要性質，是指函數在給定的定義域區間上函數自變量變大時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行，而求出的單調區間必然是定義域的子集.

例5 指出函數f(x)=log2(-x2+2x)的單調區間.

解 ∵-x2+2x>0，∴-2

∴函數定義域為(-2，0).

令u=-x2+2x，知在x∈(-2，-1)上時， u為增函數；

在x∈(-1，0)上時，u為減函數.

又 ∵f(x)=log2u在［0，+∞)是增函數，

∴函數f(x)=log2(x2+2x)在(-2，-1)上是增函數，在(-1，0)上是減函數.

即函數f(x)=log2(x2+2x)的單調遞增區間是(0，+∞)，單調遞減區間是(-∞，-2）.

本題中，學生容易得出錯誤的結論：在(-∞，-1)上是增函數，在(-1，+∞)上是減函數.這種錯誤是因為學生在平時做題時機械地模仿，忽略了解題方法的內涵.

奇偶性是函數又一個重要性質.如何判斷函數的奇偶性，教學中應強調判斷步驟，第一步必先判斷定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數為非奇非偶函數，若對稱則繼續考慮f(x)與f(-x)的關系.

例6 判斷函數f(x)=4-x2|x+3|-3的奇偶性.

解 4-x2>0，|x+3|-3≠0，解得定義域為(-2，0)∪(0，2)，關于原點對稱.

f(x)=4-x2|x+3|-3=4-x2x，

f(-x)=4-(-x)2-x=-f(x)，

∴函數f(x)=4-x2|x+3|-3為奇函數.

本題中，必須先求定義域，沒有定義域則不能化簡，不化簡則會得出f(x)與f(-x)沒有關系，進一步得出f(x)為非奇非偶函數的錯誤結論.

定義域作為函數基本要素之一，在學習函數其他內容時它是基礎、是前提，在求解函數關系式、最值(值域)、單調性、奇偶性等問題中更是重要的前提條件.提起函數不忘定義域，有利于培養學生的大局觀，有利于培養學生的思維品質.