高職高等數學中極限的求法

【摘要】極限在高職高等數學中具有舉足輕重的作用，極限包括數列極限和函數極限.極限求法多種多樣，本文總結出4種求數列極限的方法和9種求函數極限的方法.

【關鍵詞】數列極限；函數極限；極限求法

極限是高等數學的基礎，有了極限，數學中才出現了導數、微分、不定積分、定積分、廣義積分、級數等概念.學好了極限，高等數學的學習就成功了一半.高職高等數學相對本科高等數學知識較少，內容相對簡單，這樣極限在高職高等數學的學習中顯得更為重要，因此初學者一定要學好極限，為整個高等數學的學習打下堅實的基礎.

極限包括數列極限和函數極限.當項數n無限增大時，數列的項an無限接近于某一個確定的常數a，則該數列的極限為a或數列收斂于a.學生學習這個定義時須要注意：（1）數列的項an與a無限接近是指充分接近.（2）數列的項無限接近于某一確定的常數，說明該數列極限唯一.在自變量的某一變化過程中，函數值f(x)無限接近于某一確定常數a，則稱該變化過程中，函數f(x)的極限為a.自變量的變化過程分兩種：趨于有限值和趨于無窮大.

極限的求法很多，技巧性很強，本人根據自身經驗，將極限的求法總結如下：

1.數列極限的求法

高職數學要求學生了解數列極限，高職階段數列極限的求法有：

（1）用定義.

（2）數列極限的四則運算法則.

（3）夾逼法則.

（4）單調有界數列定理.單調有界數列必存在極限.

2.函數極限的求法

函數極限是高職學生必須理解掌握的，求法總結為以下9種：

（1）利用函數圖像，由定義得出.在平面直角坐標系中畫出函數圖像，根據定義看函數值隨自變量的變化會趨于哪一個常數，這個常數就是該函數極限.

（2）函數極限的運算法則.把所求函數看成有限個極限存在函數的和或差或積或商或它們的混合運算，利用函數極限的四則運算法則求解.

（3）夾逼準則.將所求函數放大或縮小，利用兩邊函數存在相等極限，得出所求函數極限.

（4）兩個重要極限.將函數極限化為兩個重要極限的形式再求解.

（5）有界函數與無窮小的乘積仍是無窮小.我們常常用無窮小的這一條性質來計算一些簡單極限.如limx→0x2sin1x=0.

（6）等價無窮小.在乘除運算中，我們常利用x→0時的等價無窮小量sinx，x，tanx，arctanx，ln(1+x).

（7）無窮小與無窮大的關系.無窮大倒數是無窮小，不為0的無窮小倒數是無窮大，這種方法常用來計算無窮大極限.

（8）洛必達法則.用來求解未定式極限，即00，∞∞，0#8226;∞，∞-∞，1∞，00型.

（9）經驗和技巧.

①求有理整式函數或連續函數當x→x0時的極限，只要把x0代替函數中的x即可.

②x→∞時有理分式函數極限有下面規律：當a0≠0，b0≠0，m，n為非負整數時，有

limx→∞a0xm+a1xm-1+…+amb0xn+b1xn-1+…+bn=a0b0，n=m，0，n>m，∞，n

③分子分母有公因式時，先約掉公因式再求極限.如limx→3x2-9x-3=limx→3x+3=6.

④分段函數利用左右極限與極限的關系，先求出左右極限再判斷函數極限.

上面所列極限的求法基本涵蓋了高職階段極限的所有求法.極限是高等數學中最重要的概念之一，是研究微積分的重要工具，極限思想也是研究高等數學的重要思想，所以高職學生在學習中一定要慢慢體會和掌握極限的求法，為高等數學的學習開啟一個良好的開端.

【參考文獻】

李文豐.高等數學［M］.北京：高等教育出版社，2008.