試析共軛直徑斜率之積在解幾中的應用

在求有心圓錐曲線且與中點相關的原命題時，利用共軛直徑斜率間的關系便能避繁易簡，本文通過借鑒幾種典型例題展現共軛直徑斜率之積的應用.

一、求弦的中點坐標

例1 已知直線x-y+2=0與橢圓(x-2)29+(y-1)24=1交于兩點M，N，試求弦MN的中點坐標.

分析 將已知直線x-y+2=0的斜率k1=1代入橢圓共軛直徑的斜率間的關系式k1#8226;k2=-b2a2，求出k2，然后轉化為解由已知直線和與已知直線平行的直徑的共軛直徑所構成的方程組.

解 設已知直線的斜率為k1=1，與已知直線平行的直徑的共軛直徑的斜率為k2，k1#8226;k2=-49，求得k2=-49.又因為橢圓的中心為（2，1），故共軛直徑的方程為y-1=-49(x-2)，即4x+9y-17=0.由此方程與x-y+2=0聯立方程組，解方程組，故弦MN的中點坐標是-113，2513.

二、求過已知點的弦的中點的軌跡方程

例2 （1981年高考試題）已知雙曲線x2-y22=1，過點P（2，1）的直線與所給雙曲線交于兩點A，B，求線段AB的中點M的軌跡方程.

分析 設一直徑所在的直線的斜率為k1，根據雙曲線共軛直徑斜率間的關系式k1#8226;k2=b2a2，求出斜率k2，然后轉化為解分別以k1和k2為斜率，求過點（2，1）和過（0，0）的直線方程，消去參數k1，求得中點M的軌跡.

解 設過點（2，1）的直線方程是y-1=k1（x-2）（k1為參數）.（1）

又設與斜率為k1的直徑的共軛直徑斜率為k2，由k1k2=2，求得k2=2k1.

故共軛直徑的方程為y=2k1x.（2）

由（1）（2）消去參數k1，則2x2-y2-4x+y=0為所求.

例3 求過橢圓x29+y24=1的一個焦點的弦的中點軌跡方程.

分析 由橢圓方程可求出焦點坐標，此弦所在直線過一焦點的方程為y=k1(x-c)，根據k1#8226;k2=-b2a2，求得k2，確定過橢圓中心的共軛直徑的方程后，解方程組消去參數k1，即得中點的軌跡方程.

解 因為a2=9，b2=4，c2=5，，所以焦點為F(±5，0)，設過一個焦點F2(5，0)的弦為AB，其斜率為k1，與斜率為k1的直徑的共軛直徑的斜率是k2，則弦AB的方程為

y=k1(x-5).(1)

∵k1#8226;k2=-49，∴k2=-49k1，（k1為參數).

又 ∵橢圓中心為(0，0)，

∴共軛直徑的方程為y=-49k1x.(2)

由(1)(2)消去參數k1，得所求的軌跡方程是

4x2+9y2-45x=0.

三、求被已知點平分的弦的直線方程

例4 （1993年廣東省中師統考試題）直線與橢圓4x2+9y2=36交于A，B兩點，P(2，1)為線段AB的中點，求直線AB的方程.

分析 由點P(2，1)和橢圓中心（0，0），可求得共軛直線的斜率k1，由k1#8226;k2=-b2a2，可求得共軛直徑的斜率k2，然后用點斜式可求得過中點P（2，1），斜率為k2的直線方程.

解 設過P(2，1)的橢圓直徑的斜率為k1，過橢圓中心與AB平行且過P(2，1)的橢圓直徑的共軛直徑的斜率為k2，則k1=12，由k1#8226;k2=-49，故直線AB的方程為y-1=-89(x-2)，即8x+9y-25=0為所求.

四、求平行弦中點的軌跡方程

例5 已知橢圓x2a2+y2b2=1，求斜率是k1的平行弦的中點的軌跡方程.

分析 將橢圓一直徑的斜率看作與它平行的直線的斜率k1，由k1k2=-b2a2求出k2，由點斜式可求得過橢圓中心（0，0），斜率為k2的直線方程.

解 設平行弦中點的軌跡為直線，其斜率為k2，由k1#8226;k2=-b2a2，得k2=-b2a2k1.又因為直線過橢圓中心（0，0），故所求軌跡方程為y=-b2xa2k1其中，-a2|k|a2k2+b2≤x≤a2|k|a2k2+b2.

文中雙曲線共軛直徑的斜率間的關系式和橢圓共軛直徑的斜率間的關系式能否推廣到解一般幾何題的情形，還有待于進一步的探究.