由一道習題引發的數學探究活動

數學探究是高中數學課程中引入的一種新的學習方式，有助于學生初步了解數學概念和結論產生的過程，初步理解直觀和嚴謹的關系，初步嘗試數學研究的過程，體驗創造的激情，建立嚴謹的科學態度和不怕困難的科學精神；有助于培養學生勇于質疑和善于反思的習慣，培養學生發現、提出、解決數學問題的能力；有助于發展學生的創新意識和實踐能力.

“探究教學”是高中課程標準的重要理念，筆者所在學校一直嘗試陜西師范大學張熊飛教授提出的“誘思探究教學”模式，即讓學生“自主、合作、探究”的學習.以下是筆者在《直線的方程》一課中由一道習題引發的一次教學探究活動，現將課堂教學過程整理后展示給大家，供各位同仁斧正！題目：已知實數x，y滿足y=x2-2x+2(-1≤x≤1)，試求y+3x+2的最值.

解法探究：拋出問題后，筆者讓學生進行自主探究，通過課堂巡視，我發現學生主要通過整體代換或換元思想給出了答案.

方法一 整體代換

y+3x+2=x2-2x+5x+2=(x+2)2-6x+1x+2

=(x+2)2-6(x+2)+13x+2=(x+2)+13x+2-6.

∵-1≤x≤1，∴1≤x+2≤3，由“勾函數”及單調性易知：當x+2=1時，原式取最大值為8；當x+2=3時，原式取最小值為43.

方法二 換元思想

令t=x+2，則x=t-2，1≤t≤3.

y+3x+2=x2-2x+5x+2=(t-2)2-2(t-2)+5t

=t2-6t+13t=t+13t-6.

以下解法同方法一.

兩種解法給出后，筆者帶領學生對其進行點評，比較哪種更加優化，并且作為學生進行數學探究的組織者、指導者、合作者，在為學生提供了這一數學探究的背景材料后，筆者鼓勵和幫助學生獨立地發現和提出問題：還有什么更好的方法？并鼓勵學生可以表達自己的見解和主張——即使是不成熟的想法，也千萬別錯過這樣的機會！

短暫的思索后，一位平時數學成績一般的同學把目光投向我，我鼓勵他站起來說出他的想法：令k=y+3x+2，本題即求k的最值.我說可以啊，看來你也是進行了整體換元.然后呢？我追問，試圖啟發他進行下去，但是良久不見下文，我點頭示意他就坐，并肯定他的想法，并讓大家一起進行合作探討，看在這名同學思考的基礎上能否有新的突破，大家開始小聲討論.不一會兒，有一小組推選出了一個代表發言，于是，有了：

方法三 數形結合思想

設k=y+3x+2=y-(-3)x-(-2），原式看成連接點（x，y）和（-2，-3）的直線的斜率，由題意結合圖像可知點（x，y）在點（-1，5）和點（1，1）之間運動，因而斜率介于兩個臨界量之間，即得原式最大值為8，最小值為43.

看著大家頓悟和羨慕的眼光，我贊揚了前一名同學的拋磚引玉，表揚了后一名同學的思路和清晰的語言表達及勇氣.我深知：在學生需要的時候，教師應該成為學生平等的合作者，教師要有勇氣和學生一起進行探究，只有這樣，才能讓學生思維的火花迸發，進而形成更濃郁的討論氛圍.

變式探究：設點A（2，-3），B（-3，-2），直線l過點P（1，2），且與線段AB相交，求直線l斜率的取值范圍.（學生通過數形結合思想很快得到k≤-5或k≥1）

對本題的三種解法進行小結后我不經意說了一句“大家還有什么想法？”正打算進入下一題講解時，一位前排就座的女生怯生生地舉起了手，我稍一愣，立刻用鼓勵的眼神示意她站起來，她給出了：

方法四

由題意知1≤x+2≤3，4≤y+3≤8，當y+3取最大且x+2取最小時，原式取最大值8；當y+3取最小且x+2取最大時，原式取最小值43.

答案一出，全班嘩然，有對此方法的“精妙”叫好的，有對此方法的“碰巧”疑惑的，也有不知所措，眼看著我等我的評價的……

這種思路是我課前沒預想到的，我略加思考后，把問題拋給了學生：x與y之間本身有制約關系，能否改變x的取值范圍而推翻這一解法呢？

這時有學生說：如果0≤x≤1，試試看！我說可以，等你們的結果，不一會兒，有做得快的學生說：“結果一樣！”有的繼續埋頭做，有的則凝望著我疑慮重重地等著我的分析.等學生們基本算出結果后，我說：“如果-1≤x≤3，請大家按照方法二和方法四分別計算一下，看結果是否成立.”用方法四的同學很快得到同樣的結果，但是不久不同的聲音傳來：用方法二求出的最大值8沒變，最小值變成了213-6.不同的方式方法得到了不同的結果，在交流探究的基礎上，通過師生之間和學生之間的討論，明晰了探究的目的，在討論中形成了共識，提高了學生對本題知識的認識，更重要的是形成了如今高中課堂所缺失的人氣場.同時學生的總結、歸納能力在這一過程中得到培養，最后自主將問題變式，提出新的問題或結論并進行了解決.

教學后記：本節課是筆者在《直線的方程》一課中一道習題的探究教學案例.實施數學探究性學習，是數學教學和學習方式改革的必由之路，本節課由一道代數式的最值問題，引發了換元思想、數形結合思想，把代數式的最值問題的求法進行了發散.在學生探究性學習活動中，筆者始終能以學生的需要作為第一要義，在本節課的實施過程中，筆者運用了一切可能的手段，不斷優化教學設計，時刻激發學生的學習興趣，創設有效的探究時間和空間，形成了良好的探究風氣，讓每名學生都有主動探究的機會和欲望，從而真正實現“不同的人在數學上得到不同的發展”.通過這次數學探究活動，促進了學生自主思考、合作探討，重新歸納總結、建立知識的框架，獨立思考問題，提出自己的觀點，培養了良好的學習習慣和思維品質.本節課可以說是在預設之中得到了意料之外的收獲.