如何追求高中數(shù)學(xué)試題講評(píng)的高效性

在高三二輪或三輪復(fù)習(xí)階段，我們常常選擇一些優(yōu)秀試卷讓學(xué)生練習(xí)，批改后講評(píng)是這個(gè)階段的基本課型.教學(xué)的節(jié)奏一般控制在教師的手中，而為了適應(yīng)統(tǒng)一的復(fù)習(xí)教學(xué)進(jìn)度，老師常常面面俱到，很多題點(diǎn)到為止，學(xué)生也就是知道了答案，而能力無實(shí)質(zhì)性的提高.我們認(rèn)為這樣的試題講評(píng)課是低效的.我們首先主張幾套試題中的同類問題可擇其一或二重點(diǎn)講評(píng)，不僅把題目本身講清楚，同時(shí)啟發(fā)同學(xué)多角度重新審視、一題多解，在各種解法的比較與聯(lián)系的反思中領(lǐng)悟方法的本質(zhì)；其次引導(dǎo)同學(xué)發(fā)散思維，在類比、聯(lián)想中由此及彼，解一題的同時(shí)打開一類問題的解題思路，只有這樣才能讓試題講評(píng)效益最大化.

例1 已知過點(diǎn)P(9，3)的l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，則距離AB的最小值為.

分析 過P點(diǎn)的直線l繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，A，B兩點(diǎn)分別在x軸和y軸的正半軸上移動(dòng)，線段AB在變化，為了求出線段AB長(zhǎng)的最小值，需選擇適當(dāng)?shù)淖兞拷⒛繕?biāo)函數(shù).我們選擇不同的視角，可以從不同的角度建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù).

視角1 過點(diǎn)P分別向x軸和y軸作垂線，設(shè)∠BAO=θ，則AP=3sinθ，BP=9cosθ，所以AB=AP+PB=3sinθ+9cosθ0<θ<π2.

視角2 用直線方程的截矩式：設(shè)直線l的方程是xa+yb=1(a>9，b>3).由點(diǎn)P在直線l上有：9a+3b=1b=3aa-9(a>9)，所以AB=a2+b2=a2+3a2(a-9)2(a>9).

視角3 用直線方程的點(diǎn)斜式：設(shè)直線l的方程是y-3=k(x-9)(k<0).所以A9-3k，0，B(0，3-9k)，所以AB=1+1k2(9k-3)2(k<0).

視角4 用直線方程的參數(shù)式：設(shè)直線l的方程是x=9+tcosθ，y=3+tsinθ（t是參數(shù)，θ是直線的傾斜角，θ∈π2，π）.令y=0，得tA=-3sinθ.令x=0，得tB=-9cosθ.

所以AB=|tA-tB|=3sinθ-9cosθ.

以上，我們從四個(gè)不同的角度分別建立了目標(biāo)函數(shù)，其目的是將線段（形）的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)（數(shù)），是從形向數(shù)的轉(zhuǎn)化.這里視角1直接從形的特征入手建立目標(biāo)函數(shù)，而視角2~4則是從直線方程的各種不同形式入手建立目標(biāo)函數(shù)，線段AB的長(zhǎng)實(shí)際上是直線l與曲線xy=0交點(diǎn)間的距離，視角4也是求直線l與一般曲線f(x，y)=0交點(diǎn)的常用方法.

視角1和4中目標(biāo)函數(shù)實(shí)質(zhì)上是一致的，我們以視角1中的目標(biāo)函數(shù)為例求解：

令f(θ)=3sinθ+9cosθθ∈0，π2，則f′(θ)=-3cosθsin2θ-9(-sinθ)cos2θ=9sin3θ-3cos3θsin2θcos2θ，由f′(x)=0，得tanθ=33θ=π6，易知當(dāng)θ=π6時(shí)，［f(θ)］min=fπ6=83.

視角2和3中目標(biāo)函數(shù)實(shí)質(zhì)上是一致的，我們一視角2中的目標(biāo)函數(shù)為例求解：

令f(a)=a2+3a2(a-9)2，則f′(a)=2a+6a(a-9)2-6a2(a-9)(a-9)4，由f′(a)=0，得(a-9)3=27a=12，所以［f(a)］min=f(12)=83.

在視角2中，我們研究的是在a，b滿足9a+3b=1(a>9，b>3)的條件下，求a2+b2的最小值，上面給出的是其中的一種解法，我們還可以從不同的角度探索其他各種解法.

解法二 令a2+b2=r2(r>0)，這個(gè)等式的幾何背景是一個(gè)變圓.將圓的方程寫成參數(shù)形式a=rcosθ，b=rsinθθ∈0，π2，則有9rcosθ+3rsinθ=1，所以r=9cosθ+3sinθθ∈0，π2，以下同視角1的解法.

解法二溝通了視角1與視角2中的兩個(gè)不同形式的函數(shù)的聯(lián)系，由此可以看出其本質(zhì)的一致性.

解法三 從9a+3b=1(a>9，b>3)可以看出b是a的函數(shù)，于是原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=3xx-9(x>9)上的動(dòng)點(diǎn)M(x，y)到原點(diǎn)O的距離的最小值.

又y=3xx-9(x>9)可化為y=3xx-9=3+93x-9(x>9)，它表示中心在O′(9，3)的雙曲線右上方的一支.將雙曲線和點(diǎn)O′按向量a=(-9，-3)平移，則點(diǎn)O′移到O(0，0)，原點(diǎn)O移到O″(-9，-3)，曲線方程變?yōu)閥=93x（x>0）.以O(shè)″為圓心作圓與曲線y=93x（x>0）相切于Tt，93t，則兩曲線在T處的公切線的斜率為k=-93t2.又kO″T=93t+3t+9=3t，由k#8226;kO″T=-1，得t=3.因此(O″T)min就是點(diǎn)O″(-9，-3)到點(diǎn)T(3，33)的距離83.

解法三給關(guān)系式9a+3b=1(a>9，b>3)以形（函數(shù)圖像）的解釋，從形的角度看出當(dāng)O″T的值最小時(shí)，以O(shè)″為圓心的圓與函數(shù)y=93x（x>0）相切且有相同的切線，從而獲得點(diǎn)T(3，33)，問題解決.

實(shí)實(shí)在在地和同學(xué)透徹地研究了一道題，遠(yuǎn)遠(yuǎn)比泛泛地講一組題效果好，選擇好題，設(shè)計(jì)好引導(dǎo)同學(xué)的程序，可以最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，讓我們的復(fù)習(xí)課更加有效.

例2 已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和是Sn.若{an}是等差數(shù)列，比較Sn+1+Sn-1(n≥2)與2Sn的大小.

分析 設(shè){an}的公差是d，則Sn=na1+n(n-1)2d，于是Sn+1+Sn-1-2Sn=d(n≥2).

所以，當(dāng)d=0時(shí)，Sn+1+Sn-1=2Sn，等價(jià)于數(shù)列{Sn}成等差數(shù)列;

當(dāng)d>0時(shí)，Sn+1+Sn-1>2Sn;

當(dāng)d<0時(shí)，Sn+1+Sn-1<2Sn.

即d≠0時(shí)，數(shù)列{Sn}不能成等差數(shù)列.

這里n-1，n，n+1成等差數(shù)列，推廣一下有什么結(jié)論?于是有：

變題1 若{an}是等差數(shù)列，n

分析 易知Sn+Sk-2Sm=(n-k)2d4，結(jié)論與原題相同.

將等差數(shù)列與等比數(shù)列類比又有什么結(jié)論?

變題2 若{an}是等比數(shù)列，n

分析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比是q，數(shù)列n，m，k的公差是d.

則q=1時(shí)，Sn=n，SnSk-S2m=-(n-k)24<0；

q≠1時(shí)，Sn=a1(1-qn)1-q，設(shè)a11-q=A，則

Sn#8226;Sk-S2m=A(1-qn)#8226;A(1-qk)-A2(1-qm)2

=A2(-qn-qk+2qm)

=A2(-qn)(1+q2d-2qd)

=-a21qn(1-qd)2(1-q)2.

當(dāng)qn<0時(shí)，SnSk-S2m>0；當(dāng)qn>0時(shí)，SnSk-S2m<0.

顯然，數(shù)列{Sn}不能成等比數(shù)列.將數(shù)列{an}中的項(xiàng)作點(diǎn)微調(diào)便有精彩的變題：

變題3 若{an}滿足a1=1，a2=2，anan-1=qn-2(n≥3，q>0)，若{Sn}成等比數(shù)列，求q的值.

分析 由條件，a1=1，a2=2，

當(dāng)n≥3時(shí)，Sn=2n-1(q=1)，1+21-q-21-q#8226;qn-1(q≠1).

當(dāng)q=1時(shí)，{Sn}顯然不成等比數(shù)列；

當(dāng)q≠1時(shí)，S2n+1-Sn#8226;Sn+2=3-q1-q-21-q#8226;qn2-3-q1-q-21-q#8226;qn-1#8226;3-q1-q-21-q#8226;qn+1=2(3-q)#8226;qn-1.

所以，當(dāng)q=3時(shí)，SnSn+2=S2n+1，數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列；

當(dāng)q>0且q≠3時(shí)，顯然Sn-1Sn+1≠S2n，自然又有：

變題4 若{an}滿足a1=1，a2=2，anan-1=qn-2(n≥3，q>0)，當(dāng)q滿足什么條件時(shí)有SnSn+2

變題5 若{an}滿足a1=1，a2=2，anan-1=qn-2(n≥3，q>0)，當(dāng)q滿足什么條件時(shí)有SnSn+2>S2n+1？

由條件Sn>0，所以SnSn+2>S2n+1Sn+2Sn+1>Sn+1Sn，于是有：

變題6 若{an}滿足a1=1，a2=2，anan-1=qn-2(n≥3，q>0)，數(shù)列{bn}滿足bn=Sn+1Sn，若數(shù)列{bn}遞增，求q的取值范圍.

變題7 若{an}滿足a1=1，a2=2，anan-1=qn-2(n≥3，q>0)，數(shù)列{bn}滿足bn=Sn+1Sn，若數(shù)列{bn}遞減，求q的取值范圍.

從變題3起，每道題都是十分精彩的基本數(shù)列訓(xùn)練題，都可以做高三綜合試卷的數(shù)列壓軸題.

所以對(duì)于試題講評(píng)我們不僅把題目本身講清楚，同時(shí)啟發(fā)同學(xué)多角度重新審視、一題多解，在各種解法的比較與聯(lián)系的反思中領(lǐng)悟方法的本質(zhì)，只有這樣才能讓試題講評(píng)效益最大化.