“函數的零點”教學思辨

聽過許多市、縣級的新課程示范課與觀摩課，從教師的教學理念、教學方式，到學生的合作交流、自主探索，無不給人全新的感受.但新課程增加的新內容，也給教師帶來了新的挑戰，需要我們一起去探討與思辨.比如，必修模塊數學1“函數的零點”教學中，就多次聽到授課教師言必稱“零點不是點”.那么，函數的零點真的不是點嗎?本文想就此談點膚淺的認識，與同仁商榷.

1.什么是函數的零點

蘇教版普通高中課程標準實驗教科書《數學1(必修)》中的定義是:一般地，我們把使函數y=f(x)的值為0的實數x稱為函數y=f(x)的零點.因此，函數y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數根.從圖像上看，函數y=f(x)的零點，就是它的圖像與x軸交點的橫坐標.

人教A版普通高中課程標準實驗教科書《數學1(必修)》中的定義是:對于函數y=f(x)，我們把f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點.這樣，函數y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數根，也就是函數y=f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標.

在定義中，函數的零點有兩個層面的描述.一是從數上講，函數的零點是一個實數，是對應方程的根;二是從形上看，函數的零點只是一個點的橫坐標.這也許就是“零點不是點”的重要依據吧.現在我們自然會有這樣的疑問:函數的零點為什么只是定義為實數x的值，而不定義為真正意義上的點(x，0)?實際上，要解開函數零點的疑團，還需要從理解函數的概念開始.

什么是函數?函數并不是一個解析表達式，也不是列表或圖像，而是一種元素間的對應關系.函數的本質就是這兩個變量之間的相互依賴關系，它反映的是一個運動、發展、變化的過程.解析式、列表與圖像只是描述兩個變量之間函數關系的三種重要表示方法.首先，函數與函數圖像是兩個不同的概念.我們可以說“函數y=f(x)的圖像經過點(x0，0)”，但不能說“函數y=f(x)經過點(x0，0)”.因此，將(x0，0)稱為函數的零點是不合適的.而由函數y=f(x)的圖像經過點(x0，0)，我們可以說f(x0)=0，即x0是使函數y=f(x)的值為零的點.其次，研究函數就是要研究兩個變量間的這種依賴關系，即在自變量x的運動變化過程中，因變量y會有誰與之相對應.也就是說我們是通過x的變化去研究函數的變化.比如，函數的單調性是研究自變量x變大時，函數值y是否也變大;函數的奇偶性是研究自變量x互為相反數時，函數值y是否也互為相反數.同樣，函數的零點就是研究自變量x取何值時，才有函數值為零.這就是函數零點的定義的必要性與合理性.

2.零點真的不是點嗎

誠然，在函數零點的教學中使用“零點不是點”進行教學提醒，是學生容易接受的，并能幫助學生較好地理解函數零點的概念，借此強化認知沖突，不至于與上位概念“點”產生混淆.實踐證明，教學效果也是明顯的.但作為數學教師，我們又必須清醒地認識到:“零點不是點”的說法是欠妥的.

實際上，“零點不是點”的錯誤認識是由上位概念“點”的理解缺失造成的.在“零點不是點”中，我們錯把“點”理解為直角坐標平面內的一個有序實數對(x，y).正如定義中所言，“函數y=f(x)的零點，就是它的圖像與x軸交點的橫坐標”，言外之意，即交點(x0，0)是點，而其橫坐標x0不是點.事實上，點是空間中只有位置、沒有大小的圖形(這里僅限歐氏幾何.在點集拓撲中，點是一個拓撲空間中的集合的元素)，點作為最簡單的幾何概念，是幾何圖形的最基本的組成部分.但點可以與數或數對按照一定的法則建立一一對應的關系，用數或數對可以表示相應的點，使點具有數的意義.例如，點A(x，y)就是在二維歐氏空間內用有序數對(x，y)表示的一個點.同樣，在三維空間里，可以用有序數對(x，y，z)表示一個點.退一步，在一維空間里我們是用實數x與點一一對應的，每一個實數x就是數軸上的一個點.因此，實數與數軸上的點是可以統一起來認識的，或者說它們是同一對象的兩種表現形式.而函數的零點正是實數x的值，函數的性質也正是通過自變量x在x軸上的變化來分析的.從數學本質上看，直角坐標系中x軸就是一條數軸，所以“零點是點”和“零點是實數”并不矛盾，它們只是從“形”和“數”兩個角度對函數零點概念的不同刻畫，兩者是和諧的.再比如，導數中的極值點定義，也是相似的情況.

綜上所述，函數的零點不是一個核心概念(這部分教材內容的核心概念是函數).在實際教學中，只要讓學生能從形和數兩個方面對它有基本的了解即可，不需要過分強調“函數的零點不是點而是數”，不要在一些細枝末節上過分糾纏，而應把教學的重點放在函數與方程的聯系上.

【參考文獻】

［1］人民教育出版社課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心編.普通高中課程標準實驗教科書#8226;數學1(必修)［M］.北京:人民教育出版社，2004.

［2］單壿.普通高中課程標準實驗教科書#8226;數學1(必修)［M］.南京:江蘇教育出版社，2007.