基于Z變換的連續域數學問題離散化求解方法研究

【摘要】計算機系統在處理數學問題時具有快速、高精度的優點，由于計算機為離散系統，如何將連續域內的數學問題離散化是提高計算機求解數學問題速度與精度的關鍵.本文針對阻容電路進行了基于Z變換的離散域數學建模，介紹了連續域數學問題的離散化求解方法.

【關鍵詞】Z變換；脈沖傳遞函數；阻容電路

一、連續域內的阻容電路數學模型建立

阻容電路中電容對電壓變化產生的作用使其在濾波、振蕩等電路中得到廣泛應用.通過數學分析可知阻容電路本質上是輸入信號與輸出信號之間的線性常系數.在電子制作中，阻容電路常作為無源濾波器使用，其原理為利用微分方程的幅頻響應特性得到期望頻率的信號.

阻容電路的常見形式如圖1所示，加載于電路兩端的輸入信號經過阻容電路的處理得到電容兩端的輸出信號.

圖 1

根據電容電流公式計算輸入信號ui與輸出信號uo之間的關系如公式1所示.

ui=i#8226;R+uo=RCduodt+uo.(公式1)

通過求解公式1中的微分方程可得到ui的通解，然而這種方式難以描述阻容電路自身的特性.對線性常微分方程進行拉普拉斯變換，獲得系統自身特性的方法稱為傳遞函數，采用這種方法可以更準確地描述阻容電路自身特性.對公式1兩端進行拉普拉斯變換得到阻容電路輸入與輸出之比G(s)，即阻容電路的傳遞函數.

G(s)=1RCs+1=Uo(s)Ui(s).(公式2)

其中Ui(s)為電壓輸入信號，Uo(s)為電壓輸出信號，稱RC為響應時間.

二、基于Z變換的離散化數學模型建立

Z變換是離散域內輸入輸出系統分析、設計所需的重要數學工具，其作用等同于連續域內的拉普拉斯變換.連續信號ui(t)經過采樣周期為T的理想開關后，變為相應的采樣信號u*i(t)，這是一組加權理想脈沖序列.將公式1中的傳遞函數使用雙線性變換法確定離散化的Z變換脈沖函數，得到：

u*i(t)=ui(0)δ(t)+ui(T)δ(t-T)+…(公式3)

根據拉普拉斯變換實位移定理，可得

U*i(s)=L［u*i(t)］

=ui(0)+ui(T)e-Ts+ui(2T)e-2Ts+…

=∑∞k=0ui(kT)e-kTs.(公式4)

由于U*i(s)是s的超越函數，不便處理，引入復變量z=eTs進行代換，得到信號u*i(t)的Z變換冪級數形式，如下所示.

E(z)=e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+…

=∑∞k=0e(kT)z-k.(公式5)

通過Z變換，對阻容電路的傳遞函數進行處理，便可得到離散化的阻容電路數學模型，進而能夠將這種數學模型用于計算機系統進行仿真.

連續域函數離散化的方法主要包括一階差分近似法、脈沖響應不變法、階躍響應不變法以及雙線性變換法.由于雙線性變換法穩定性較好且計算簡單，因此本文選用雙線性變換法進行離散化，其轉換方法如公式6所示.

s=2T#8226;z-1z+1.(公式6)

設阻容電路的離散域采樣周期T為0.005 s，響應時間RC=0.2，并將公式6代入公式1中，得到如下所示的阻容電路離散化脈沖傳遞函數.

D(z)=Ui(Z)Ur(Z)=Z+1(400RC+1)Z-(400RC-1).(公式7)

離散化脈沖傳遞函數的動態過程需要通過差分方程描述，公式8為取向后差分時線性常系數差分方程的一般形式.

ui(k)+a1ui(k-1)+…+anui(k-n)=b0uo(k)+…+bmuo(k-m).(公式8)

如上所述，對公式7中的離散化脈沖傳遞函數采用向后差分計算差分方程可得到阻容電路的線性差分方程.

ui［k］=ur［k］+ur［k-1］+(400T-1)ui［k-1］400T+1.(公式9)

三、離散化數學模型求解結果與結論

基于公式9，在VC環境下進行編程，針對響應時間RC為0.2 s輸入4 V的阻容電路，求解輸出端實時電壓值，可得到如圖2所示電壓輸出曲線.

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