對均值不等式求解最值問題中一類典型錯誤的深究

眾所周知，若a，b∈R+，則a+b2≥ab，（當且僅當a=b時取等號）稱為均值不等式.均值不等式具有將“和式”與“積式”相互轉化的功能，應用比較廣泛，尤其是運用它求函數最值更是高考中的熱點內容.利用均值不等式求最值必須滿足三個條件，即“一正、二定、三相等”，這三條缺一不可，然而在實際的教學中，學生對“定”的理解始終不夠透徹，甚至因此經常出錯.舉列如下：

題目 已知x>0，求y=2x+1x2的最小值.

解 ∵x>0，∴y=2x+1x2≥22x#8226;1x2=22x.

當且僅當2x=1x2，即x=2-13時取等號，

此時ymin=222-13=253.

對于上述解答的錯誤之處，絕大多數教師的解釋是：運用均值不等式放縮過程中，沒有同時滿足“一正、二定、三相等”三個條件中的“定”，故解答錯誤！對于這樣停留在表象上的解釋學生并未心悅誠服.古人云：“知其然，還要知其所以然”.

其實，上述解答運用均值不等式進行放縮本身并沒問題，只是最后一步下結論出錯.當x=2-13時代入原函數，可求得y=222-13=253，不妨設P2-13，253，為了更直觀的研究問題，我們不妨借助圖形來分析：

①“當且僅當x=2-13時，2x+1x2=22x”即點P是y=2x+1x2(x>0)與y=22x兩個函數圖像的唯一公共點；

②“當x≠2-13時，2x+1x2>22x”即除去點P外，y=2x+1x2的圖像都在y=22x圖像的上方.

設f(x)=2x+1x2，求導f′(x)=2-2x3=2(x-1)(x2+x+1)x3.

當x∈(0，1)時，f′(x)<0，則f(x)單調遞減；

當x∈(1，+∞)時，f′(x)>0，則f(x)單調遞增；于是x=1時，f(x)極小值=3.

設g(x)=22x，則g′(x)=-2x-32.

當x∈(0，+∞)時，g′(x)<0，則g(x)單調遞減.

又f′(2-13)=g′(2-13)=2，則y=f(x)與y=g(x)在點P(2-13，253)處的切線斜率相等，因而切線必重合，故y=f(x)與y=g(x)圖像切于點P.

由以上的分析，我們不難得到它們在同一坐標系中的圖像，如圖所示，從圖形可以直觀看出點P并不是函數y=2x+1x2(x>0)圖像的最低點，即y=253只是切點處的函數值，并不是函數y=2x+1x2(x>0)的最小值.

大家知道，原題運用三個數的均值不等式可以如下解答：

∵x>0，則y=2x+1x2=x+x+x-2≥3#8226;3x#8226;x#8226;x-2=3.

當且僅當x=1x2，即x=1時ymin=3.事實上函數y=2x+1x2(x>0)的圖像與直線y=3切于點M(1，3)，除去切點M外，y=2x+1x2(x>0)的圖像均在直線y=3的上方，故ymin=3.

由以上分析可知，用均值不等式得求函數最值時，不等號兩邊的函數在平面直角坐標系中對應的圖像是相切的，切點的橫坐標即為取等號時自變量的值，只有當不等號右邊是常數時切點才為圖像的最低點，切點的縱坐標才為函數的最小值.

在平常的學習中，大家對所犯的錯誤既要“知其然”，更要力求“知其所以然”.通過對一些典型錯誤的深入剖析，既有助于加深對錯誤本質的理解，更有助于養成科學、嚴謹的治學態度.