淺談新課程標(biāo)準(zhǔn)高中微積分教學(xué)

一、高中微積分課堂教學(xué)的若干問(wèn)題

1.教學(xué)重點(diǎn)

本部分教學(xué)的重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的概念形成過(guò)程、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、定積分的概念、微積分基本定理等.

2.微積分的應(yīng)用

（1）利用微積分研究函數(shù)的性質(zhì)與圖像

①結(jié)合有實(shí)際背景的例子，借助幾何直觀探索并了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

②結(jié)合函數(shù)的圖像，了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求簡(jiǎn)單函數(shù)的極大值、極小值以及最大值、最小值；很多函數(shù)的極值和最大(小)值或者無(wú)法解決，或者需要較強(qiáng)算法.學(xué)了微積分的基本知識(shí)以后，求函數(shù)的極值和最大(小)值問(wèn)題才算得到了較為徹底的解決.

③通過(guò)與初等數(shù)學(xué)方法的比較，體驗(yàn)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的有效性.在學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)有一些我們用初等數(shù)學(xué)的方法很難解決的問(wèn)題，例如在學(xué)習(xí)了函數(shù)圖像的描繪、學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用后，就可以利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并結(jié)合函數(shù)的某些性質(zhì)，較為準(zhǔn)確地描繪出函數(shù)的圖像.當(dāng)然，微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用遠(yuǎn)不止這些方面.微積分思想方法對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)有著重要的指導(dǎo)作用，且能在中學(xué)數(shù)學(xué)的許多問(wèn)題上起到居高臨下和以簡(jiǎn)馭繁的作用.

（2）利用微積分研究方程的根

例 求證：(x-a)(x-a-b)-1=0有兩個(gè)相異實(shí)根，并且一個(gè)根大于a，另一個(gè)根小于a.

本題用初等數(shù)學(xué)的方法證明必須分為兩步，有一定的運(yùn)算量，顯得麻煩.現(xiàn)采用微積分的方法，可將兩步并為一步，顯得簡(jiǎn)捷.

證明 設(shè)f(x)=(x-a)(x-a-b)-1，則f(a)=-1<0，因?yàn)楫?dāng)x→∞時(shí)，f(x)→+∞，所以在區(qū)間(-∞，a)和(a，+∞)內(nèi)分別存在α和β，使f(α)>0，f(β)>0.

由連續(xù)函數(shù)的介值性定理，在區(qū)間(α，a)和(a，β)內(nèi)分別存在x1和x2，使f(x1)=0，f(x2)=0，這表明x1和x2是方程的兩個(gè)相異實(shí)根，x1a.

（3）不等式及恒等式的證明

不等式的證明方法多種多樣，沒有統(tǒng)一的模式，初等數(shù)學(xué)常用的方法是恒等變形、數(shù)學(xué)歸納法、利用二次型、使用重要不等式(如a2+b2≥2ab)等，往往有較高的技巧.利用微積分的方法證明不等式，常利用函數(shù)的增減性等有關(guān)知識(shí)，它可使不等式證明的過(guò)程大大簡(jiǎn)化，技巧性降低，但也沒有固定模式.

3.微積分教學(xué)應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題

（1）新課程中微積分的內(nèi)容與以往中學(xué)數(shù)學(xué)中的微積分內(nèi)容的區(qū)別.與傳統(tǒng)的教材相比，新教材在理念、編排、內(nèi)容處理上都有很大的變化，主要表現(xiàn)在：突出導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì).

以前教材中的微積分內(nèi)容都是由“極限”“導(dǎo)數(shù)和微分”“積分”三部分組成.強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)變量數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，突出計(jì)算和應(yīng)用，在內(nèi)容的處理上雖也適當(dāng)增加了直觀性、降低了理論性，注意概念、性質(zhì)、法則、公式、定理的直觀引入，但整個(gè)內(nèi)容卻試圖給學(xué)生一個(gè)完整的微積分體系，基本上可以說(shuō)是大學(xué)微積分內(nèi)容的簡(jiǎn)單下放.

（2）新課標(biāo)中微積分的處理方式與傳統(tǒng)處理方式不同之處.傳統(tǒng)的微積分處理方式，基本的呈現(xiàn)方式是：極限的概念、函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.這樣學(xué)習(xí)雖然理論上比較完整、嚴(yán)謹(jǐn)，但學(xué)生不容易接受；新課程中微積分初步中不再系統(tǒng)地講極限概念，而著重理解微分的基本思想及應(yīng)用.這樣的調(diào)整，更加注意數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系和應(yīng)用，重在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

二、教學(xué)建議

在不學(xué)習(xí)極限知識(shí)的情況下進(jìn)行微積分教學(xué)，有好的一面，也有其不足之處，筆者在此略談在不學(xué)習(xí)極限知識(shí)的情況下如何進(jìn)行導(dǎo)函數(shù)的概念教學(xué).

1.要突出導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)

第一，根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)實(shí)際背景，創(chuàng)設(shè)豐富的情境.第二，“局部以直代曲”歸根到底是個(gè)哲學(xué)問(wèn)題.要引導(dǎo)學(xué)生用心體會(huì)無(wú)限逼近與“量變到質(zhì)變”“近似與精確”的哲學(xué)原理，不要急于給出形式化的定義.應(yīng)努力追求水到渠成的教學(xué)方式.第三，導(dǎo)數(shù)概念建立之后，要認(rèn)真引導(dǎo)學(xué)生用定義推導(dǎo)幾個(gè)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，要注重求導(dǎo)運(yùn)算中形式化訓(xùn)練的規(guī)范要求，進(jìn)而體會(huì)數(shù)學(xué)理論的自身特點(diǎn)及巨大價(jià)值所在，加強(qiáng)對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的認(rèn)識(shí)和理解.體現(xiàn)“課程標(biāo)準(zhǔn)”讓學(xué)生在經(jīng)歷過(guò)程中感受數(shù)學(xué)的思想.

2.淡化計(jì)算及嚴(yán)格的證明推導(dǎo)過(guò)程

處理導(dǎo)數(shù)的計(jì)算時(shí)，只要求學(xué)生會(huì)用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則來(lái)計(jì)算導(dǎo)數(shù)，要避免過(guò)量的形式化運(yùn)算練習(xí).與選修系列1-1相比，選修系列2-2對(duì)運(yùn)算的要求略有提高，如增加了求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)（僅限于形如f(ax+b)）的導(dǎo)數(shù).

3.注重多媒體在教學(xué)過(guò)程的應(yīng)用

在平均變化率及導(dǎo)數(shù)的概念等的教學(xué)中，通過(guò)多媒體演示圖像的變化過(guò)程給學(xué)生直觀感受，尤其在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義時(shí)，利用“幾何畫板”制作割線向切線無(wú)限逼近的動(dòng)畫，比用描述性的語(yǔ)言去說(shuō)明更容易讓學(xué)生理解切線是割線極限位置.總之，教學(xué)過(guò)程中要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的教育價(jià)值，要體現(xiàn)新一輪課程改革的理念——知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀的有機(jī)整合，具體到數(shù)學(xué)課程來(lái)說(shuō)，就是要充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值和數(shù)學(xué)在利用數(shù)學(xué)的特點(diǎn)育人方面、在推動(dòng)社會(huì)發(fā)展方面的價(jià)值.高中微積分教學(xué)是一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，尤其是高中新課標(biāo)微積分內(nèi)容對(duì)于我們來(lái)講是全新的.基于以上對(duì)微積分教學(xué)的認(rèn)識(shí)，本文提出了建立在新課程理念下的高中微積分教學(xué)的以上一些粗淺看法.