由2011年高考看三角性質問題如何考

三角函數是高中數學的重要知識，是高考的熱點、重點問題，每年必考.其考點主要包括三角的化簡求值、三角函數的圖像與性質、解三角形這三大塊內容.一般填空題1~2兩題，解答題1題，分值20分左右，多為中、低檔題.而三角函數性質問題又是高考常考題型.下面本文就以2011年高考試題進行分析研究.

一、最小正周期問題

例1 （2011年重慶文18）設函數f(x)=sinxcosx-3cos(x+π)cosx(x∈R)，求f(x)的最小正周期.

解析 由f(x)=sin2x+π3+32，所以函數f(x)的最小正周期為π.

點評 利用“降次”“化單一三角函數”思想將函數f(x)化為y=Asin(ωx+φ)型，再應用周期公式T=2π|ω|即可.

二、最值問題

例2 （2011年上海理8）函數y=sinπ2+x#8226;cosπ6-x的最大值為.

解析 由y=12sin2x+π3+34，得最大值12+34.

點評 利用“兩角和與差的正余弦”公式，“降次”“化單一三角函數”思想將函數f(x)化為y=Asin(ωx+φ)+b型后，由x∈R，即得最值.若題目研究給定區間上的最值，需求出ωx+φ的范圍.

三、單調性問題

例3 （2011年安徽理9改編）已知函數f(x)=sin(2x+φ)，其中φ為實數，若f(x)≤fπ6對x∈R恒成立，且fπ2>f(π)，則f(x)的單調遞增區間是.

解析 若f(x)≤fπ6對x∈R恒成立，則fπ6=sinπ3+φ=1，所以π3+φ=kπ+π2（k∈Z），φ=kπ+π6(k∈Z).由fπ2>f(π)（k∈Z），可知sin(π+φ)>sin(2π+φ)，即sinφ<0，所以φ=2kπ+π6(k∈Z).代入f(x)=sin(2x+φ)，得f(x)=sin2x+π6.由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)，所以增區間是kπ-π3，kπ+π6(k∈Z).

點評 首先需將函數f(x)=sin(2x+φ)的φ求出，而研究三角函數的單調區間必須注意“整體思想”，注意三角函數的圖像.另外若題目研究給定區間上的單調區間，需討論k的值.

四、圖像變換問題

例4 （2011年天津文8改編）如圖是函數y=Asin(ωx+φ)(x∈R，ω>0)在區間-π6，5π6上的圖像，為了得到這個函數的圖像，只要將y=sinx(x∈R)的圖像上的所有的點向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縱坐標不變.

解析 由周期為T=2πω=π，得ω=2.又如圖，平移需滿足-φω=-φ2=-π6，解得φ=π3.因此首先將y=sinx(x∈R)的圖像上的所有的點向左平移π3個單位長度，再需把所有的點的橫坐標縮短到原來的12，縱坐標不變.

點評 對于y=Asin(ωx+φ)圖像變換，理解熟記變換尤其重要.

五、圖像特征問題

例5 （2011年江蘇9）函數f(x)=Asin(ωx+φ)，(A，ω，φ是常數，A>0，ω>0)的部分圖像如圖所示，則f(0)=.

解析 由函數圖像，得A=2，T4=7π12-π4，所以T=π，2πω=π，ω=2.再結合三角函數圖像及性質知2×π3+φ=π，得φ=π3，所以f(x)=2sin2x+π3，得f(0)=62.

點評 對于給出三角函數的部分圖像處理A，ω，φ，關鍵在于觀察圖像，得出周期、振幅，另外圖像的最高點、最低點、圖像與x軸的交點也要善于靈活應用.

總之，對于三角函數性質，常見的題型、常考的知識點、常用的思想方法都需要我們反復練習，這樣才能真正地知道高考到底考什么、怎么考，逐步培養自身的讀題、解題、反思問題的能力.