導數解題教學中的幾個易錯點

【摘要】本文通過對日常教學工作發現的學生對利用導數解決問題的困惑點的總結歸類，提出在導數解題的教學過程中應該講透導數定義的理解與運用、復合函數的求導特點、曲線過某一點的切線、隱含于函數解析式的定義域、導數值等于零的自變量取值與極值點的關系、分類討論的原則等問題，引導學生理清其中的內涵和外延，掌握知識的本質，利用正確的知識去解決問題，提升學生解決數學問題的能力、技巧.

【關鍵詞】導數解題；易錯；導數定義；復合函數；切線；定義域；極值點；分類討論

隨著新課程改革的強力推進，高考數學對導數的考查是其重要的特色之一.但學生在解有關導數的題目時，由于對基礎知識掌握得不全面或對題目意思理解得不準確而造成錯解的現象屢見不鮮.在解題教學中，只有將學生易錯問題的原因講透，幫助學生明白“為什么錯，錯在什么地方，怎么改正”，才能提高學生利用導數解決問題的能力.

結合高中數學新教材的內容和對學生解題實踐的反思，學生常常出現以下幾種錯誤，列舉為例，引導我們進行導數解題教學.

易錯點之一 導數的定義

在解決與導數定義有關的問題時，要關注定義中增量Δx的形式是多樣的，但無論Δx選擇哪一種形態，相應的Δy也必須作適當的變換，選擇與Δx對應的形式，這樣用整體代換的思想去理解增量，依據導數的定義解決問題.

例1 已知函數f(x)=-35x5-74x4+8，則當Δx無限趨近于0時，f(1+2Δx)-f(1)Δx=.

解 原式變形為f(1+2Δx)-f(1)Δx=2×f(1+2Δx)-f(1)2Δx.

當Δx→0時，2Δx→0.

又f′(x)=-3x4-7x3，

根據導數的定義有：原式=2f′(1)=-20.

注解 如果原式不變形，使Δy與Δx的結構對應，則可能會出現這樣的錯誤，原式=f′(1)=-10.

易錯點之二 復合函數的求導

復合函數求導，由于對復合函數的構成存在認識的誤區，所以在求解導數時總是出現要么少對內層函數求導、要么對函數求導無從下手等情形.在解題過程中一定要分清楚函數是不是復合函數，外層函數是什么，內層函數是什么，求導的順序是什么.

例2 已知函數f(x)=(1+cos2x)2，求f′(x).

解 設y=u2，u=1+cos2x，

則y′x=y′u#8226;u′x=2u(1+cos2x)′=2u(-sin2x)(2x)′=-2u#8226;sin2x#8226;2（這里，容易漏掉對2x求導），所以f′(x)=-4sin2x(1+cos2x).

注解 復合函數的求導一般按以下三步進行：（1）選定中間變量，正確分解復合關系：y=f(u)，u=f(x)；（2）分步求導：y對u求導y′u，u對x求導u′x；（3）求y′uu′x，并將u用x的函數代回.整個過程體現“分解——求導——回代”的流程，其中特別需要注意：在中間變量對自變量的求導中，若自變量前面有系數，需同樣視為復合過程進行求導.遇見多重復合的情形，需要相應地多次應用中間變量.

易錯點之三 過某一點的曲線的切線

在求曲線過某一點的切線時，容易誤認為該點就是切點.曲線與直線相切，并不一定只有一個公共點，我們知道，當曲線是二次曲線時，直線與曲線相切，有且只有一個公共點，但這種觀點對一般的曲線不一定正確.

例3 已知曲線y=13x3+43，求曲線過點（2，4）的切線方程.

解 設曲線y=13x3+43與過點P（2，4）的切線相切于點Ax0，13x30+43，則切線的斜率k=x20.

∴切線方程為y-13x30+43=x20(x-x0)，

即y=x20x-23x30+43.

∵點P（2，4）在切線上，

∴4=2x20-23x30+43，

解方程得x0=-1或x0=2.

故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.

注解 在解決此類問題時，首先要分清問題是“在某點處的切線”，還是“過某點的切線”.解決“過某點的切線”問題時，一般先設出切點的坐標，然后利用導數和直線斜率的計算式分別求出其切線的斜率，構造等式求出切點，或利用點在直線上，解決問題.“在某點處的切線”即該點就是切點.

易錯點之四 隱含在解析式中函數的定義域

在處理將定義域隱含在解析式中的函數問題時，定義域被忽視具有很大的可能性，所以，我們在解決函數問題時，要牢牢記住“定義域優先原則”這句話，避免因為忽視定義域而造成解題錯誤.

例4 （2011年浙江文）設函數f(x)=a2lnx-x2+ax，a>0，求f(x)的單調區間.

解 由題知x>0，

f′(x)=a2x-2x+a=-(x-a)(2x+a)x.

由于a>0，x>0，

(如果沒有明確x的取值范圍，那么此時f′(x)的符號不確定，就需要討論，造成解題繁雜、錯誤.)

當x∈(0，a)時，f′(x)>0，所以f(x)在區間(0，a)單調遞增；

當x∈(a，+∞)時，f′(x)<0，所以f(x)在區間(a，+∞)單調遞減.

注解 一般地，對于函數解析式如果沒有含帶偶次根式、指數式、對數式等自身對自變量有限制的式子，題目中又沒有給出函數自變量的取值范圍，通常就默認為是全體實數，如果含帶偶次根式、指數式、對數式等自身對自變量有限制的式子，則需要根據這些限制來求出自變量的取值范圍，而這個也是我們通常容易忽視的地方.

易錯點之五 f′(x)=0與函數的極值點的關系

f′(x)=0是可導函數f(x)在x0處取得極值的“必要條件”，還是“充要條件”，在解題過程中常常被模糊使用，即若f′(x0)=0，則x0是函數f(x)的極值點.這是錯誤觀點.正確的理解是f′(x0)=0是x0為函數f(x)的極值點的“必要不充分條件”，即x0不一定是函數f(x)的極值點.x0是否為函數f(x)的極值點關鍵看x0的左右兩邊函數的單調性是否互異.

例5 （2011年安徽文）已知函數f(x)=ex1+43x2，求f(x)的極值點.

解 對f(x)求導，得f′(x)=ex#8226;1+43x2-83x1+43x22.

若f′(x)=0，則4x2-8x+3=0，解得x1=33，x2=12.

f(x)↗極大值↘極小值↗

所以，x1=32是極小值點，x2=12是極大值點.

注解 由上表知，x1=32左邊的導數符號為負，右邊的導數符號為正，是互異的，所以x1=32是極小值點；x2=12 左邊的導數符號為正，右邊的導數符號為負，是互異的，所以x2=12是極大值點.

易錯點之六 分類討論

以導數為解題工具的函數問題，通常以恒成立問題、求參數范圍問題、存在性問題等形式出現，而在解決這些問題的過程中，由于自變量或字母序數的取值范圍不同，所得到的結果也不同，因此常常需要界定自變量或字母序數的取值范圍，這就需要分類討論.討論誰，以什么樣的標準討論，成了解決問題的“攔路虎”.一般情況下，分類討論的對象是引起式子取值特征變化的字母，分類的標準是以討論對象引起式子取值特征變化的分界點為依據來決定的.

例6 （2011年北京文）已知函數f(x)=(x-k)ex.

（1）求f(x)的單調區間；

（2）求f(x)在區間［0，1］上的最小值.

解 （1）f′(x)=(x-k+1)ex.

令f′(x)=0，得x=k-1.

f(x)與f′(x)的情況如下：

所以，f(x)的單調遞減區間是（-∞，k-1），單調遞增區間是(k-1，+∞).

（2）當k-1≤0，即k≤1時，函數f(x)在［0，1］上單調遞增，所以f（x）在區間［0，1］上的最小值為f(0)=-k；

當0

當k-1=1，即k=2時，函數f(x)在［0，1］上單調遞減，所以f(x)在區間［0，1］上的最小值為f(1)=(1-k)e.

綜上所述：

當k≤1時，f（x）在區間［0，1］上的最小值為f(0)=-k；

當1

當k=2時，f(x)在區間［0，1］上的最小值為f(1)=(1-k)e.

注解 在第（2）問中由于k-1的取值范圍不同，函數f(x)在［0，1］上的單調性不一樣，所以分類討論的對象選擇k，再根據要分析的范圍［0，1］來確定k的幾種可能性進行分類討論，得出最終結果.