對高等數(shù)學輔導課的探討

【摘要】由于高等數(shù)學課程的特點，相當部分學生對課堂內(nèi)容不能及時消化，導致問題越來越多，甚至產(chǎn)生怕學、厭學數(shù)學課程的情緒.針對這種情況，我校專門開設了高等數(shù)學輔導課，為同學查漏補缺，排難解惑.文中就如何上好高等數(shù)學輔導課進行了探討.

【關鍵詞】高等數(shù)學；輔導課

高等數(shù)學作為一門重要的基礎課，既是學習后繼眾多課程的基礎，也是培養(yǎng)和提高學生解決問題能力、創(chuàng)造性思維能力、概括抽象和邏輯推理能力的重要途徑.但由于高等數(shù)學理論性、抽象性較強，內(nèi)容多學時少，許多學生對課堂內(nèi)容不能完全消化，對知識的認知停留在表面，對知識的應用無從下手.高等數(shù)學輔導課作為課堂教學的輔助形式，不僅可以幫助學生消化和鞏固課堂上所獲取的知識，強化理論知識，對學生數(shù)學素質(zhì)的提高也有著重要作用.本文從以下四個方面闡述了如何上好高等數(shù)學輔導課.

一、回顧重點，進行章節(jié)小結

高等數(shù)學輔導課不只是簡單的做題、解題過程，而是加深數(shù)學概念、方法理解，把握要領至關重要的一環(huán).在輔導課上，首先要把每章節(jié)的內(nèi)容及其中的重點和難點作扼要的提示和小結.通過小結，不但可以使前后知識連貫，達到由新憶舊、以舊引新的目的，起到前呼后應的效果，而且使學生進一步理解本章的內(nèi)容，以系統(tǒng)的觀點對本章所學內(nèi)容有一個更為清晰的框架，加深對各部分、各章節(jié)內(nèi)容之間關系的理解.例如在講解中值定理這章時，可以把四個中值定理之間的關系用圖表示出來，如下圖所示，從而使學生明確拉格朗日中值定理是這一部分的核心及各個定理間的區(qū)別和聯(lián)系.

羅爾中值定理推廣特例拉格朗日中值定理推廣特例柯西中值定理

特例推廣泰勒中值定理

又如在講了函數(shù)的可積性后，對于一元函數(shù)，我們可以將函數(shù)的連續(xù)性、可導性、可微性、可積性之間的關系表示如下，這樣使學生對它們之間的關系有一個整體的認識.

可積有界



可微可導連續(xù)極限存在

二、重視一題多種解題方法的講解

在高等數(shù)學輔導課上要注意運用“一題多解”的方式解決問題，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，各種方法相互比較，可以開拓學生的解題思路.同時，又由于學生對各知識點掌握的程度不同，通過多種方法解題，可以使學生能夠全面地理解所學內(nèi)容，融會貫通，達到事半功倍的效果.例如在講解不定積分這一章時，對于有些不定積分的計算會有很多解法，如∫dxxx2-1，我們可以引導學生通過四種方法解決：

解法1和解法2是常用的方法，學生容易想到，但要提醒學生注意結合被積函數(shù)的定義域分情況討論，過程比較復雜；解法3和解法4，技巧性稍微高一些，但是解題過程很簡便，輔導課中要注重對這些方法的練習，拓寬解題思路.

三、對于不同類型的題，總結方法、步驟，以便于學生掌握

如第三章中利用中值定理證明ξ存在性的題型，往往需要構造輔助函數(shù)，怎么構造函數(shù)，構造怎樣的函數(shù)是學生解決這類問題的難點.雖然每個題中構造的函數(shù)是不一樣的，但是尋求方法是相同的，即由結論出發(fā)，通過分析法，得到要構造的函數(shù)，進而再選擇用哪個定理.

如：設函數(shù)f(x)在［0，1］上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導，且有f(1)=0，證明：至少存在一點ξ∈(0，1)，使f′(ξ)=-f(ξ)ξ.

分析 引導學生從結論出發(fā)，要證f′(ξ)=-f(ξ)ξ 即證f′(ξ)#8226;ξ+f(ξ)=0 即證［f′(x)#8226;x+f(x)］x=ξ=0 即證［x#8226;f(x)］′x=ξ=0.由此，易知令F(x)=x#8226;f(x)，再利用羅爾定理證明.

四、輔導課例題題目的選擇

例題的選擇要具有一定的代表性和啟發(fā)性，盡量選擇一些聯(lián)系概念法則較多、牽涉的知識面較廣、綜合性較強、技巧靈活、有多種解題方法的題.

(1)課本上典型基本題目.鞏固和加深學生對基礎知識的理解，提高基礎較差學生的水平.如：若函數(shù)f(x)在x=0處不連續(xù)，則f(x)在x=0必不可導還是可能可導？對兩個重要極限的理解：limx→∞sinxx=1，limx→0(1+cosx)3cosx=e3.

（2）作業(yè)中典型錯誤題目.在課堂教學中，有些老師總是想法設法使學生對問題的回答不出一點差錯，甚至是容易產(chǎn)生經(jīng)典錯誤的問題，教師也有“高招”使學生能夠按照自己設計的思路給出正確答案.這樣處理使得學生自己做練習時錯誤五花八門.通過高等數(shù)學輔導課，有必要把學生作業(yè)中常見錯誤尤其是一些典型錯誤逐一講評，指出錯誤關鍵所在，讓學生搞清楚錯誤的原因，讓其他學生吸取教訓，避免以后犯類似錯誤，從而培養(yǎng)學生證明題目的嚴密性和邏輯性.

如：設函數(shù)g(x)在x=0某鄰域內(nèi)二階可導，g(0)=0，研究函數(shù)f(x)=g(x)x，x≠0，g′(0)=0，x=0在x=0可導性.

大部分學生做法如下：

結果雖然正確，但是過程錯誤.該做法在最后一步想當然地加上了條件“g″(x)在x=0連續(xù)”而不自知，這是同學常犯的錯誤，其原因在于學生對函數(shù)連續(xù)和可導的概念掌握不熟，想當然就認為導函數(shù)連續(xù).正確解法是對上述解法中（4）直接通過導數(shù)定義得到最后結果.

（3）歷屆研究生入學試題.研究生入學試題能較全面地衡量學生對所學知識的掌握情況，題目并不難，大多數(shù)題目和書上題目的難易、類型都差不多.所不同的地方就是題目靈活一點，多數(shù)題目是考查學生的綜合能力，有點技巧性，但證明過程并不繁雜.由于有部分同學入學時就有攻讀研究生的抱負，研究生入學試題可以激發(fā)他們學習高等數(shù)學的興趣.

總之，高等數(shù)學輔導課是課堂教學的重要環(huán)節(jié)之一，是提高課堂效果的重要途徑.高等數(shù)學輔導課沒有統(tǒng)一的教材參照，教學模式多種多樣，如何有效地開展高等數(shù)學輔導課是值得研究的一個話題.

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