高中數學難題巧解例析

【摘要】針對高中千奇百怪的難題，要集思廣益，展開豐富的聯想，抓住題干，抽筋取骨，確保解開每一道難題.

【關鍵詞】數學；難題；巧解；聯想

在高中學習過程中，很多學生會經常遇到一些難題、怪題，如果方法不當，便會誤入歧途，甚至幾日不得其解.那么如何才能做到運籌帷幄，決勝千里呢？其實也并不那么深奧，解題的關鍵訣竅在于聯想.當然解題方法必須精辟、新穎.

下面是本人多日專心研究，在無過程只有答案的前提下，謹以高中數學練習冊幾例難題作以說明，奉獻給大家，以此作為借鑒.

例1 95個數a1，a2，…，a95，每個數只能取-1或1兩個值之一，那么（a1a2+a1a3+…+a1a95）+(a2a1+a2a2+…+a2a95)+…+(a94a1+a94a2+…+a94a95)的最小正值是.

分析 設原題所求之和為Sn，則

2Sn=(a1+a2+…+a95)2-(a21+a22+…+a295).

而a21+a22+…+a295的最大正值為95，且1≤(a1+a2+…+a95)2≤952.

又因為a1+a2+…+a95為奇數，所以a1+a2+…+a95的最小正值應取11.所以2Sn≥112-95，所以Sn≥13.所以此題最小正值為13.

點評 此題最關鍵之處是設出Sn后等價聯想到2Sn，從而順藤摸瓜，迎刃而解.當然能否想到2Sn是此題的一大難點.

值得注意的是a1+a2+…+a95的最小正值應取11.(否則，如果取9，則92-95<0就不滿足該題的要求了，9以下的數都是如此.)

例2 從0到9這10個數字中任取3個數字組成一個沒有重復數字的三位數，這個數不能被3整除的概率是（）.

A.1954

B.3554

C.3854

D.4160

分析 用0到9這10個數字，分別去除以3，看余數結果，再把每一種情況的數字分別作為沒有重復數字的三位數的個位數去排列三位數，有以下幾種情況：

（1）0，3，6，9四個數分別去除以3，余數均為0，取法有A33+C23#8226;C12#8226;A22.

(2)1，4，7三個數分別去除以3，余數均為1，取法有A33.

（3）2，5，8三個數分別去除以3，余數均為2，取法有A33.

（4）最后，不同余數抽出一個數的組合數為C13C13(C12A22+C13A33）.

（1）+（2）+（3）+（4）=228.

所以，這個數不能被3整除的概率是1-228A19A29=228648=3554.故選B.

點評 此題我的方法是把這10個數按除以3的余數分類聯想，其結果有多種情況.分類最注重的是思維縝密，聯想全面.尤其第（4）步要考慮周全，因為各余數之和0+1+2=3也能被3整除.當然第（1）步0不能做百位數也要考慮到.千萬不能功虧一簣.

例3 設函數f(x)在R上的導函數為f′(x)，且2f(x)+xf′(x)>x2，則下面的不等式在R內恒成立的是（）.

A.f(x)>0

B.f(x)<0

C.f(x)>x

D.f(x)

分析 構造一個新函數g(x)=x2#8226;f(x)，則g′(x)=2xf(x)+x2f′(x).

當x>0時，由題知g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)>x3>0，所以g(x)遞增.

所以g(x)=x2f(x)>g(0)，而g(0)=0，所以f(x)>0.

當x<0時，g′(x)=x［2f(x)+xf′(x)］

所以g(x)=x2#8226;f(x)>g(0)，所以f(x)>0.

當x=0時，代入已知2f(x)+xf′(x)>x2中，則2f(0)+0>0，所以f(0)>0.

綜上所述，當f(x)>0時，x∈R恒成立.故選A.

點評 此題關鍵是根據已知的不等式左端，相似聯想到構造出一個新函數g(x)，使之導數與已知類似.這就是此題新穎、獨特之處.否則很難再找出一個好方法解決此題.

例4 從1到169的自然數中任意取出3個數構成以整數為公比的遞增等比數列的取法有（）.

A.80種

B.89種

C.90種

D.91種

分析 設取出的3個數分別為a，aq，aq2(a，q為正整數且q>1)，則1≤a

當q固定時，使這3個數a，aq，aq2為整數的a的個數記作N(q)，由aq2≤169，知N(q)應是169q2的整數部分，即N(2)=16922=42，以此類推，N(3)=18，N(4)=10，N(5)=6，N(6)=4，N(7)=3，N(8)=N(9)=2，N(10)=N(11)=N(12)=N(13)=1.

因此，滿足題意的取法共有：N(2)+N(3)+…+N(13)=91(種).故選D.

點評 此題關鍵之處是首先要斷定出q的取值范圍，然后確定N(q)的各值.此種方法在數學解題時比較常見，屬于由a想到b，即遞進聯想.但是此題如果采用排列組合或其他的方法，其結果又將如何？請讀者自己考慮.

總之，數學解題方法多種多樣，上述四道例題均屬高中難度較大的題型，每題開始下手時思路都不是很容易找到，既便找到也不見得是最理想的方法，甚至最后前功盡棄.因此，解題最科學的方法是巧解.而巧解最關鍵的地方是解題的開始，如果不開，也不可能有始，這就要求每位解題者在解題前必須反復審題，要充分領悟透每個字的涵義及前后邏輯關系，聯想你所學過的相關知識及相近的題型，做到不輕易動筆，動筆就要見成效.好的方法一旦找到，思路就固然豁然開朗了.因此巧解題時要廣泛聯想，奇思妙想，多種方法穿插運用，它是形象思維與抽象思維的有機結合.善于運用各種聯想，對數學問題進行整體與部分、形式與本質、結構與特征、條件與結論，由表及里地進行觀察、分析、思考，對問題形成立體式、解剖式認識，從而提高思維的流暢性、靈活性與廣泛性.

因而數學中解題方法不但要新穎、獨特，而且多向聯想也是提高學生巧妙解題能力的基礎.

【參考文獻】

樓海平.聯想——巧妙解題的基礎.數學教學通訊，2002（7）.