圓教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想方法

【摘要】在初三的數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，圓這一章節(jié)中所貫穿以及體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是比較豐富的，同時(shí)其在初高中的銜接過(guò)程中也占有特別重要的地位，是學(xué)生在建構(gòu)自身的平面幾何知識(shí)與解析幾何知識(shí)的橋梁.筆者根據(jù)自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就圓這一章節(jié)所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法淺談一二，以供同仁參考.

【關(guān)鍵詞】圓教學(xué)；初中；數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想方法已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分.教師在進(jìn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，必須做到讓學(xué)生在知識(shí)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，滲透和體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法，并且要充分把握住講課的過(guò)程中的概念的形成、結(jié)論的推導(dǎo)、方法的思考、規(guī)律的揭示以及問題的發(fā)現(xiàn)這些環(huán)節(jié)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法的形成.

由于圓的教學(xué)的抽象性以及現(xiàn)實(shí)生活中的形象性的結(jié)合，再加之初中教材中對(duì)于圓這一章的處理不夠精妙，使得學(xué)生感覺知識(shí)點(diǎn)繁雜，學(xué)習(xí)過(guò)程中往往感覺比較吃力.筆者就這一章節(jié)中所體現(xiàn)出的三種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行一一梳理，并希望學(xué)生對(duì)該章節(jié)的學(xué)習(xí)形成系統(tǒng)，真正掌握到數(shù)學(xué)的精髓之處.

1.分類討論的數(shù)學(xué)思想方法

由于數(shù)學(xué)的抽象性以及概括性，通常其涉及的問題和對(duì)象都比較多元化，因此很難用一種大而化之的方法來(lái)解決，必須采取分情況一一進(jìn)行討論，而這種方法就是數(shù)學(xué)中常常用到的分類討論思想.

初三教材中的圓，基本上在每個(gè)小節(jié)都牽涉和體現(xiàn)到了分類討論思想的運(yùn)用.比如，在研究點(diǎn)與圓的位置關(guān)系時(shí)，要分圓外、圓上、圓內(nèi)三種情況；研究直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，要分相離、相切、相交三種情況；在解決圓與圓的相切問題時(shí)，要分清楚是外切還是內(nèi)切；在計(jì)算弧對(duì)應(yīng)的圓周角時(shí)，要弄明白這段弧是優(yōu)弧還是劣弧.另外在研究圓周角定理時(shí)以及解決題目中常出現(xiàn)的動(dòng)點(diǎn)以及動(dòng)弦的問題時(shí)，也涉及了分類討論思想的運(yùn)用.而這種思想對(duì)于普遍的初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，掌握是比較困難的，通常他們?cè)谶\(yùn)用這種思想的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)討論不周到、不全面.

例1 半徑為5 cm的圓O中，弦AB∥弦CD.又AB=6 cm，CD=8 cm，則AB和CD兩弦的距離為.

不少學(xué)生只填寫７ cm，而漏掉另一答案１ cm.這是因?yàn)樗麄冊(cè)诳紤]問題時(shí)，只想到了兩弦分別在圓心的兩側(cè)，沒考慮到另一種情形：兩弦在圓心的同側(cè).

因此，針對(duì)該種情況，教師要對(duì)學(xué)生加強(qiáng)這方面的強(qiáng)化訓(xùn)練，同時(shí)在日常的教學(xué)活動(dòng)中，就應(yīng)該要從各方面來(lái)滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想.

2.數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)以現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)關(guān)系與空間形式作為其研究的對(duì)象，而形與數(shù)是互相聯(lián)系的，也是可以相互轉(zhuǎn)化的.把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成圖形的性質(zhì)問題，或者把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量的關(guān)系問題，是數(shù)學(xué)活動(dòng)中的一種十分重要的思維策略，這種處理問題的思想，就是數(shù)形結(jié)合的基本思想方法.

在初三的圓這一章的教學(xué)中，不管是教材的舉例還是教材課后的習(xí)題中，都不乏這種思想方法.比如說(shuō)教材在引進(jìn)圓的概念的時(shí)候，就采取了數(shù)與形相結(jié)合的思想；在研究直線與圓的關(guān)系時(shí)，也把形轉(zhuǎn)變成數(shù)來(lái)進(jìn)行進(jìn)一步的解決；另外在課后題目的設(shè)置中，中點(diǎn)弦定理的證明也正是進(jìn)一步深化了該數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用.

3.方程和函數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法

方程的思想和函數(shù)的思想是處理常量數(shù)學(xué)與變量數(shù)學(xué)的重要思想，在解決一般數(shù)學(xué)問題中具有重要的方法論意義.在中學(xué)數(shù)學(xué)中，方程與函數(shù)是極為重要的內(nèi)容，對(duì)各類方程和基本初等函數(shù)都作了較為系統(tǒng)的研究.對(duì)于一個(gè)較為復(fù)雜的問題，常常只需要尋求等量關(guān)系，列出一個(gè)或幾個(gè)方程或函數(shù)關(guān)系式，就能很好地得到解決.

在初中的圓的教學(xué)過(guò)程中，圓所涉及的數(shù)量關(guān)系比較多，同時(shí)它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系也比較多，另外還可以與三角形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行串聯(lián)，因此在解決圓的問題時(shí)，方程和函數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用是最為廣泛的.教師在培養(yǎng)學(xué)生的方程和函數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法的形成過(guò)程中就應(yīng)該給學(xué)生灌輸“一方程（等式）對(duì)應(yīng)一未知元”的終極數(shù)學(xué)思想，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生利用相關(guān)已知條件來(lái)建構(gòu)相關(guān)方程或等式.

圖 1

例2 （2011年無(wú)錫）如圖1，已知O(0，0)，A(4，0)，B(4，3).動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度，沿△OAB的邊OA，AB，BO做勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)直線l從AB位置出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向x軸負(fù)方向做勻速平移運(yùn)動(dòng).若它們同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到O時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng).

(1)當(dāng)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求直線l與以點(diǎn)P為圓心、1為半徑的圓相交時(shí)t的取值范圍.

(2)當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)直線l分別與OA，OB交于C，D，試問：四邊形CPBD是否可能為菱形？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由，并說(shuō)明如何改變直線l的出發(fā)時(shí)間，使得四邊形CPBD會(huì)是菱形.

解析 （1）根據(jù)點(diǎn)P與直線l的距離d＜1分為點(diǎn)P在直線l的左邊和右邊，分別表示距離，列不等式組求范圍.

（2）四邊形CPBD不可能為菱形.依題意可得AC=t，OC=4-t，PA=3t-4，PB=7-3t.由CD∥AB，利用相似比表示CD，由菱形的性質(zhì)得CD=PB可求t的值.又當(dāng)四邊形CPBD為菱形時(shí)，PC=PB=7-3t，把t代入PA2+AC2，PC2中，看結(jié)果是否相等，如果結(jié)果不相等，就不能構(gòu)成菱形.設(shè)直線l比P點(diǎn)遲a秒出發(fā)，則AC=t-a，OC=4-t+a，再利用平行線表示CD，根據(jù)CD=PB，PC∥OB，得相似比，分別表示t，列方程求a即可.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，運(yùn)用相似比、邊相等等關(guān)系，用代數(shù)的方法，列方程求解.

4.化歸轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想方法

化歸，即轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的意思.把有待解決或者未解決的問題，通過(guò)轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)為所熟悉的規(guī)范性問題或者已解決的問題中去，從而求得問題解決的思想.這種思想，是初中階段接觸的最為廣泛的一種數(shù)學(xué)思想，在圓這一節(jié)的教學(xué)過(guò)程中，通常要求學(xué)生在解決相關(guān)問題時(shí)將未知轉(zhuǎn)化為已知，將題目中不確定的關(guān)系轉(zhuǎn)化為確定的關(guān)系，將一般情況轉(zhuǎn)化為特殊情況來(lái)處理.因此，教師要對(duì)化歸轉(zhuǎn)換的思想加以重視.

在圓的教學(xué)中，相似變換、射影變換以及等積變換都是常用的變換.另外，這一章節(jié)還要求學(xué)生能掌握將不規(guī)則圖形變換成規(guī)則圖形來(lái)求解相關(guān)問題的能力，比如把扇形轉(zhuǎn)換成三角形與一弓形的組合圖形，進(jìn)而可以利用相關(guān)公式來(lái)求取弓形的面積或者其他相關(guān)因素.

圖 2

例3 如圖2，⊙A，⊙B，⊙C兩兩不相交，且半徑都為0.5 cm，則圖中陰影部分的面積之和為（）.

解析 圖中陰影部分為三個(gè)扇形，所以只要求出扇形的面積即可.但求扇形的面積必須知道圓心角的度數(shù)，如何求出這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)呢？顯然是比較困難的，因?yàn)檫@是一個(gè)普通的三角形.我們觀察到三個(gè)圓的半徑相同，于是考慮將三個(gè)圓心角拼在一起，這樣就可以利用三角形的內(nèi)角和定理來(lái)解決了.三個(gè)扇形圓心角的度數(shù)之和為三角形的內(nèi)角和，即180°，所以陰影部分的面積之和為nπr2360°=180°×π×0.52360°=π8.故選B.

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂.因此，教師在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察給出的圖形，探尋進(jìn)行轉(zhuǎn)化的途徑和方法是解決此類問題的關(guān)鍵.

5.對(duì)稱轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想方法

對(duì)稱，是一種生活中常見的現(xiàn)象，并且人類的審美觀往往對(duì)于對(duì)稱的圖形產(chǎn)生一種平衡以及和諧的感覺.而對(duì)稱轉(zhuǎn)換，在圓這一章的教學(xué)中運(yùn)用得淋漓盡致.教材在推導(dǎo)定理以及結(jié)論的時(shí)候，充分地體現(xiàn)到了這點(diǎn).比如在推導(dǎo)垂徑定理的時(shí)候，巧妙地利用了圓的對(duì)稱性這一性質(zhì)，推導(dǎo)出了垂徑定理；利用圓的旋轉(zhuǎn)不變性，很快便推導(dǎo)出弧、弦、圓心角之間的關(guān)系式.

以垂徑定理與圓心角與弧的關(guān)系定理為例，在這兩個(gè)定理的敘述過(guò)程中，我們不禁質(zhì)疑：把一張圓形的紙片沿著任意一條直徑對(duì)折，直徑兩側(cè)的兩個(gè)半圓為什么能夠互相重合?為什么在同圓中，點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合，弧AB就能與弧A′B′重合?

不妨選擇下面的定理進(jìn)行討論：

定理 在同圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等.

分析 我們從課本86頁(yè)倒數(shù)第二行開始：我們把∠AOB連同弧AB繞圓心O旋轉(zhuǎn)，所以點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合，這樣弧AB與弧A′B′必重合.

假若不然，不妨設(shè)此時(shí)弧AB內(nèi)存在一點(diǎn)M，它不能與弧A′B′內(nèi)任意一點(diǎn)重合，即M不在弧A′B′上(顯然M在∠AOB或∠A′O′B′內(nèi)).

由于M在弧AB上，根據(jù)圓的集合定義第(1)條，M與圓心O的距離一定等于定長(zhǎng)r(圓半徑長(zhǎng)r)，再根據(jù)圓的集合定義第(2)條(在∠A′O′B′內(nèi))與定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)一定在弧A′B′上.這就與假設(shè)點(diǎn)M不在弧A′B′上矛盾.

由反證法，可知點(diǎn)M必在弧A′B′上，于是弧AB與弧A′B′必重合.

從上述分析過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)稱問題的根源在于圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.

總而言之，應(yīng)深入挖掘教材中圓的數(shù)學(xué)思想，用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)課堂教學(xué)，讓學(xué)生在知識(shí)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，滲透和體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)小結(jié)復(fù)習(xí)講座，提煉和概括數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)相關(guān)問題的解決，掌握和深化數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的過(guò)程中理解和掌握數(shù)學(xué)思想方法，并促進(jìn)其思維能力的發(fā)展.

【參考文獻(xiàn)】

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