高等代數(shù)抽象性及其教學(xué)的研究

【摘要】文章概述了高等代數(shù)課程在概念、代數(shù)運算以及相關(guān)聯(lián)知識之間的抽象性特點，針對各抽象概念間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)連通進(jìn)行教學(xué)改革研究，培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)生的抽象思維能力和解決代數(shù)相關(guān)問題的能力.

【關(guān)鍵詞】抽象性；概念；代數(shù)運算；關(guān)系網(wǎng)絡(luò)

【基金項目】長沙學(xué)院教學(xué)改革研究項目資助(Y016)

高等代數(shù)源于對現(xiàn)實世界無數(shù)真實對象的高度抽象和概括，在大學(xué)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育中，高等代數(shù)對培養(yǎng)人的代數(shù)計算能力、抽象思維能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)化能力有著得天獨厚和不可估量的價值與作用.這就要求教學(xué)者培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和應(yīng)用能力.本文主要從以下三個方面研究了高等代數(shù)教學(xué)中的抽象性問題.

1.概念上的抽象性教學(xué)

高等代數(shù)中的概念可謂抽象之抽象，是建立在已有概念的抽象分析之上的概念，這些概念與真實世界的距離是非常遙遠(yuǎn)的，其“概念術(shù)語抽象難以記憶，思想方法不易掌握，解題論證入手困難”.有數(shù)據(jù)顯示，學(xué)生對高等代數(shù)中“概念的概括”基本能聽懂的只有40%，似懂非懂的占60%.這客觀上要求教師必須結(jié)合生產(chǎn)、生活實際，把抽象的概念具體化，并結(jié)合已知來對比、類推.最終使學(xué)生把各個知識點融會貫通.

例1 講述矩陣的定義時，我們就引入田忌賽馬(贏得矩陣)的實例：

我國古代有“齊王賽馬”的事例，說的是戰(zhàn)國時代齊王與其大將田忌賽馬，雙方約定各出上、中、下3個等級的馬各一匹進(jìn)行比賽，這樣共賽馬3次，每次比賽的敗者付給勝者一百金.已知在同一等級馬的比賽中，齊王之馬可穩(wěn)操勝券，但田忌的上、中等級的馬分別可勝齊王中、下等級的馬.比賽策略:

此實例既增加了課堂的氛圍，加強了學(xué)生對矩陣概念的形象理解，也對矩陣的應(yīng)用性方面有了一定的認(rèn)識，讓學(xué)生知道了高等代數(shù)這門課程不單單是純理論知識，還有著廣泛的生活應(yīng)用.再結(jié)合行列式對比，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)二者的異同，使學(xué)生不僅對矩陣的認(rèn)識具體化，同時進(jìn)一步升華了其對行列式的抽象性理解.

例2 講解數(shù)域的定義，設(shè)P是由一些復(fù)數(shù)組成的集合，其中包括0與1，如果P中任意兩個數(shù)(這兩個數(shù)也可以相同)的和、差、積、商(除數(shù)不為零)仍然是P中的數(shù)，那么P就稱為一個數(shù)域.我們教學(xué)時通過數(shù)域的定義，再對照一些熟悉的數(shù)域，如有理數(shù)域、實數(shù)域、復(fù)數(shù)域來增強同學(xué)們對數(shù)域的定義的感性認(rèn)識.在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生對這個定義進(jìn)行優(yōu)化.

2.代數(shù)運算的抽象性教學(xué)

在已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中存在大量的“非常規(guī)”運算，其實質(zhì)上是相同的，但是這種非常規(guī)運算很容易跟腦海中固有的常規(guī)知識相混淆.在教學(xué)中要求教學(xué)者不斷地強調(diào)“非常規(guī)”運算，區(qū)分其與“常規(guī)”運算，形象地講解“非常規(guī)”運算的關(guān)系，使學(xué)生能輕松地接受這些運算，而不至于與原有初等數(shù)學(xué)中的運算相混淆.

例3 在線性空間中的一種叫做加法和一種叫做數(shù)量乘法的運算ab=a#8226;b，k#8226;ak=ak，k∈R，a，b∈R+，跟我們普通的初等運算不同，這種定義很難使學(xué)生的思維一下子就轉(zhuǎn)換過來，即使一開始明白了，但在練習(xí)中還是會與初等代數(shù)運算混淆.教學(xué)者應(yīng)反復(fù)跟學(xué)生強調(diào)，要求學(xué)生在做這類代數(shù)運算時，先把原來腦海里的加、減、乘、除運算方法撇開，體會自己剛進(jìn)幼兒園時的學(xué)習(xí)心態(tài)，這樣，在講解過程中，學(xué)生就會非常謹(jǐn)慎地對待目前所定義的運算，而不至于動不動就跟初等代數(shù)運算相混淆.此外，由于我們游戲般地把自己帶到童年的學(xué)習(xí)回憶中，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中有一種新鮮感、快樂感.接著在給出了定義之后，要注意給出實例.特別需要再反過去讓同學(xué)們思考初等數(shù)學(xué)中所定義的運算跟線性空間中運算的異同.

例4 講解同構(gòu)映射，開始學(xué)習(xí)時要理解同構(gòu)這一運算概念是有難度的，尤其是在高等代數(shù)大多數(shù)教材對線性空間的抽象討論中，并沒有考慮線性空間的元素及其中運算的定義，從這個觀點看來同構(gòu)的線性空間是抽象的，很難理解，教學(xué)者若能聯(lián)系實際生活，把線性空間運算有關(guān)的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，比喻成生物學(xué)上研究脊椎動物類的身體結(jié)構(gòu)時，它們的標(biāo)本與實物本身雖然組成各自的成分不相同，但就其結(jié)構(gòu)而言，我們認(rèn)為其標(biāo)本與實體沒有區(qū)別.要研究脊椎動物的結(jié)構(gòu)，不可能將屬于脊椎動物的每只動物都解剖進(jìn)行研究，而是將該類動物中的其中一只如麻雀解剖做成標(biāo)本，只要將這一只標(biāo)本研究清楚了，則整個脊椎類的結(jié)構(gòu)也就清楚了.同樣的道理，要研究某一類線性空間，若它們在某個一一對應(yīng)下關(guān)于運算的結(jié)構(gòu)相同，我們則只要研究其中的一個就行了，這就是學(xué)習(xí)同構(gòu)的意義所在.這樣的比喻使學(xué)生覺得既形象又容易接受，不僅明白了同構(gòu)的含義，而且對同構(gòu)的作用也有了一定的認(rèn)識.

3.高等代數(shù)中各概念之間的抽象性聯(lián)系教學(xué)

高等代數(shù)本身幾乎完全周旋于抽象概念關(guān)系的圈子之中，各種相關(guān)的抽象概念織成了一張張有機(jī)的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，在高等代數(shù)知識網(wǎng)絡(luò)連通方面，我們通過仔細(xì)鉆研教材，翻閱各種資料，能把高等代數(shù)的知識脈絡(luò)全面把握，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可以深刻地感覺到，高等代數(shù)課程不是由一個個零散的抽象內(nèi)容簡單組合而成，而是通過各個關(guān)節(jié)相互關(guān)聯(lián)在一起的一個整體，在教學(xué)的過程中注意前后類比，既及時地復(fù)習(xí)了前面的內(nèi)容又消化了后面的新知識.在傳授知識的同時，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力和學(xué)習(xí)能力.

例5 矩陣的秩在高等代數(shù)中的聯(lián)通教學(xué).由于矩陣的秩密切網(wǎng)連著行列式是否等于零，向量組的極大無關(guān)組與相關(guān)性、線性方程組的解的判斷與基礎(chǔ)解系、二次型的秩與正定性、線性空間的維數(shù)和線性變換的秩與零度等，教學(xué)者根據(jù)矩陣的秩是這張網(wǎng)的結(jié)點的特點，在前面課程教學(xué)中對各抽象概念具體化教學(xué)，通過前后類比學(xué)習(xí)后面的知識，在復(fù)習(xí)課上，又抓住矩陣的秩這一主線讓學(xué)生回顧高等代數(shù)中關(guān)于行列式是否等于零，向量組的極大無關(guān)組與相關(guān)性、線性方程組的解的判斷與基礎(chǔ)解系、二次型的秩與正定性、線性空間的維數(shù)和線性變換的秩與零度等各個知識點，這樣學(xué)生不但進(jìn)一步熟悉了高等代數(shù)中的各個知識點，而且，進(jìn)一步融會了其各知識點間的相關(guān)聯(lián)系.

例6 線性方程組的變換和求解其實也一直貫穿著矩陣的各個知識點.如矩陣的性質(zhì)、化簡、求逆等一系列的運算實質(zhì)上就是線性方程組的變換和求解過程.教學(xué)者在講述矩陣的這些知識點時都可以先根據(jù)線性方程組的變換和求解這些過程對照講解，然后得出矩陣的這些性質(zhì).使學(xué)生能夠很快地知其所以然.

例7 線性空間的基聯(lián)通線性空間的各個知識點，我們知道線性空間、線性變換、同構(gòu)映射、基、坐標(biāo)、基下矩陣等抽象概念又織出一張生動邏輯關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，而基就是該網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點.根據(jù)這一特點，教學(xué)者在教學(xué)過程中圍繞基這一中心點在復(fù)習(xí)課上回顧線性空間、線性變換、同構(gòu)映射、基、坐標(biāo)、基下矩陣等.

由于高等代數(shù)課程的抽象性特點，與大一新生早已習(xí)慣的“題型教學(xué)”有實質(zhì)性區(qū)別，往往感到抽象難懂，面對大量的定義、引理、定理、證明感到枯燥無味，無從下手.為此，教師在教學(xué)上遵從循序漸進(jìn)的教學(xué)原則，在教學(xué)中盡量注意新舊知識的銜接，注重抽象知識具體化的方式方法.筆者主要在以上幾個方面作了研究，并在實踐中取得了一定的成效.

【參考文獻(xiàn)】

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